(4) Você considera possível existir um espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores distintos? Explique o seu raciocínio.
(5) É possível que um espaço vetorial que não possui um único elemento, admitir um número finito de elementos? Justifique.
(5) É possível que um espaço vetorial que não possui um único elemento, admitir um número finito de elementos? Justifique.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- (4) Pergunta se é possível existir um espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores distintos.
- (5) Pergunta se um espaço vetorial que não possui um único elemento (ou seja, tem pelo menos dois elementos) pode ter um número finito de elementos.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- O corpo de escalares é o corpo dos reais, isto é, os escalares são elementos de
. - Um espaço vetorial deve satisfazer os axiomas usuais: existir elemento neutro aditivo (vetor zero), fechamento em soma e multiplicação por escalares, existência de inversos aditivos, etc.
Passo 2
Recap rápido (tipo “aula curta”) dos fatos que vamos usar — sem pular etapas:
- Por axioma, todo espaço vetorial
contém um vetor nulo tal que, para todo ,
Esse vetor
é único (prova curta: se
e
fossem zeros, então
).
- Para todo
existe um inverso aditivo tal que
- Fechamento por multiplicação por escalares: para todo
e todo tem-se . - Propriedade útil sobre escalares:
é um corpo infinito e, em particular, e não existem divisores de zero nos escalares. Assim, se e , então existe tal que .
Vamos usar esses fatos para investigar as duas perguntas. Vou mostrar passos diretos e os motivos de cada conclusão.
Passo 3
Queremos saber se pode existir
com exatamente dois elementos distintos. Suponha, por absurdo, que exista um espaço vetorial
com exatamente dois elementos. Denote esses elementos por
Por axioma,
contém o vetor nulo
. Assim, sem perda de generalidade podemos tomar
e
com
. Então
Agora aplicamos fechamento por multiplicação por escalares a
. Para qualquer
tem-se
. Como
só tem dois elementos, para cada
deve acontecer que
seja igual a
ou igual a
. Em particular, escolhemos um escalar conveniente, por exemplo
. Então
, logo ou
- Se
, multiplicando ambos os lados por (que existe em ) obtemos , contradizendo . - Se
, subtraindo dos dois lados obtemos , novamente contradição.
Portanto a suposição de que existe um espaço vetorial com exatamente dois elementos leva a contradição. Conclusão: não existe espaço vetorial real com exatamente dois vetores distintos.
(Observação alternativa e igualmente simples: considere o escalar
. Então
deve estar em
. Como
tem só
, ou
ou
; ambas implicam
, contradição.)
Passo 4
Agora: pode um espaço vetorial sobre
que não seja unitário (ou seja, que tenha algum vetor não nulo) ter número finito de elementos?
Tomemos
um espaço vetorial sobre
e suponha que exista
com
. Considere a aplicação
Mostrarei que
é injetora (ou seja, escalares diferentes produzem vetores diferentes), o que implica que
tem pelo menos tantas elementos quanto
— logo é infinito (na verdade de cardinalidade do contínuo).
Prova de injetividade: suponha
tais que
Então
Como
e
é um corpo (não há divisores de zero), segue que
, isto é,
. Assim
é injetora.
Como existe uma função injetora de
em
, o conjunto
tem cardinalidade maior ou igual à de
, portanto não pode ser finito. Conclusão: qualquer espaço vetorial sobre
que contenha um vetor não nulo tem infinitos elementos; em particular, não existe espaço vetorial sobre
com número finito de elementos e com mais de um elemento.
Observação didática final: existe um espaço vetorial com exatamente um elemento — o espaço trivial
. Existem espaços vetoriais finitos, mas somente quando o corpo de escalares é finito (por exemplo,
tem
elementos, onde
é o corpo com dois elementos). O ponto essencial é: sobre corpos infinitos como
, qualquer espaço vetorial não trivial é necessariamente infinito.
Passo 5
Resumo didático curto para decorar na prova:
- Sempre que trabalhar com espaço vetorial sobre
, lembre que se existir então os escalares produzem uma família infinita de vetores distintos. - Logo não existem espaços vetoriais sobre
com tamanho finito maior que . - E especificamente, tamanho
é impossível porque multiplicações por escalares simples (como ou ) forçam contradição com .
Resposta
(4) Não — é impossível existir um espaço vetorial real com exatamente dois vetores distintos.
(5) Não — se um espaço vetorial sobre tem algum vetor não nulo então ele possui infinitos elementos, portanto não pode ter um número finito de elementos quando não é unitário.
(5) Não — se um espaço vetorial sobre