(24) Faça o que se pede em cada item:
Determine os vetores u, v \in \mathbb{R}^{4} sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenada de v é igual a 3 e u+v=(1,2,3,4).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações dadas:
    • u\in\mathbb{R}^{4} e todas as coordenadas de u são iguais.
    • v\in\mathbb{R}^{4} e a última coordenada de v é igual a 3.
    • u+v=(1,2,3,4).
  • O que é pedido:
    • Determinar explicitamente os vetores u e v.

Passo 2

Vamos representar as incógnitas de forma simples para trabalhar com elas. Como todas as coordenadas de u são iguais, chamo essa coordenada de a e escrevo
u=(a,a,a,a).
Como só sabemos que a última coordenada de v é 3, chamo as três primeiras coordenadas de v de b_1,b_2,b_3 e escrevo
v=(b_1,b_2,b_3,3).
Explicar isso: escrever vetores por coordenadas é padrão — cada vetor em \mathbb{R}^4 tem quatro entradas, então nomeia-se cada entrada quando não é conhecida.

Passo 3

A igualdade u+v=(1,2,3,4)\) é uma igualdade entre vetores em \(\mathbb{R}^4\). Igualdade de vetores significa igualdade coordenada a coordenada. Portanto obtemos o sistema de quatro equações: \[\begin{cases} a + b_1 = 1,\\[4pt] a + b_2 = 2,\\[4pt] a + b_3 = 3,\\[4pt] a + 3 = 4. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde à soma das respectivas coordenadas de u\] e \(v sendo igual à coordenada correspondente do vetor resultado.]

Passo 4

A equação mais simples é a última: a+3=4. Resolvendo-a por subtração:
a = 4-3 = 1.
Dica rápida de prova/exame: sempre verifique se alguma equação é direta e resolve a incógnita mais rápido — aqui a última já nos dá a imediatamente.

Passo 5

Com a=1, voltamos às três primeiras equações para encontrar b_1,b_2,b_3. Substituindo a=1 em cada uma:
b_1 = 1 - a = 1 - 1 = 0,
b_2 = 2 - a = 2 - 1 = 1,
b_3 = 3 - a = 3 - 1 = 2.
Portanto as três primeiras coordenadas de v são 0,1,2, respectivamente, e a última já era 3.

Passo 6

Fizemos os cálculos das coordenadas separadamente. Para checar rapidamente (boa prática na prova), some coordenada a coordenada usando a=1 e b_1=0,b_2=1,b_3=2:
(1+0,\;1+1,\;1+2,\;1+3) = (1,2,3,4),
que é exatamente o vetor fornecido no enunciado. A verificação confirma que as contas estão corretas.

Passo 7

Resumo do método (receita para a prova):
  • Parametrizar o vetor com coordenadas iguais por uma variável a.
  • Escrever v com incógnitas nas coordenadas desconhecidas e usar a informação dada sobre a última coordenada.
  • Igualar componente a componente a u+v e resolver o sistema componente por componente — muitas vezes alguma equação isolará uma incógnita imediatamente, como aqui.
  • Sempre faça a verificação somando as coordenadas encontradas para garantir consistência.

Resposta

u=(1,1,1,1)
v=(0,1,2,3)

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