(23) Sejam v_{1}, v_{2}, v_{3} os vetores linhas e w_{1}, w_{2}, w_{3} os vetores colunas da matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]. Verifique as relações v_{1}=2 v_{2}-v_{3}, w_{1}=2 w_{2}-w_{3}. Exprima w_{1} \mathrm{e} w_{2} como combinações lineares de v_{1} e v_{2} e vice-versa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]4 & 5 & 6\\[4pt]7 & 8 & 9\end{pmatrix},
e diz que v_{1},v_{2},v_{3} são os vetores-linha e w_{1},w_{2},w_{3} são os vetores-coluna de A.
Informações fornecidas (extraídas da matriz):
v_{1}=(1,2,3),\qquad v_{2}=(4,5,6),\qquad v_{3}=(7,8,9),
w_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]7\end{pmatrix},\qquad w_{2}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\\[2pt]8\end{pmatrix},\qquad w_{3}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}.
O que pede o enunciado:
  • Verificar as relações \,v_{1}=2v_{2}-v_{3} e \,w_{1}=2w_{2}-w_{3}.
  • Expressar w_{1} e w_{2} como combinações lineares de v_{1} e v_{2}.
  • Expressar v_{1} e v_{2} como combinações lineares de w_{1} e w_{2}.
A resolução começa a partir daqui.]

Passo 2

Rápida revisão (didática) do que é combinar linearmente vetores:
  • Dizer que x é combinação linear de u e v significa que existem escalares a,b tais que x=a\,u+b\,v.
  • Para vetores em \mathbb{R}^{3} isso vira um sistema de três equações (uma para cada componente). Vou tratar vetores-linha e vetores-coluna como vetores em \mathbb{R}^{3} (ou seja, só interessa o mesmo espaço de coordenadas); a orientação (linha/coluna) não impede formar combinações lineares dos seus componentes.
Agora já temos os vetores escritos; vamos checar as igualdades pedidas.

Passo 3

Verificação da relação entre linhas: calcular 2v_{2}-v_{3}.
Escrevendo componentes:
2v_{2}-v_{3}=2(4,5,6)-(7,8,9).
Fazendo a multiplicação e subtração componente a componente:
2(4,5,6)=(8,10,12),
(8,10,12)-(7,8,9)=(8-7,\,10-8,\,12-9)=(1,2,3).
Portanto
2v_{2}-v_{3}=(1,2,3)=v_{1},
logo a relação \,v_{1}=2v_{2}-v_{3} está verificada.

Passo 4

Verificação da relação entre colunas: calcular 2w_{2}-w_{3}.
Escrevendo componentes:
2w_{2}-w_{3}=2\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\\[2pt]8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação e subtração componente a componente:
2\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\\[2pt]8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]10\\[2pt]16\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}4\\[2pt]10\\[2pt]16\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]7\end{pmatrix}.
Portanto
2w_{2}-w_{3}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]7\end{pmatrix}=w_{1},
logo \,w_{1}=2w_{2}-w_{3} está verificada.]

Passo 5

Agora vamos expressar w_{1}\) como combinação linear de \(v_{1}\) e \(v_{2}\). Procuramos escalares \(\alpha,\beta\) tais que \[w_{1}=\alpha v_{1}+\beta v_{2}.
Escrevendo componente a componente (usando v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(4,5,6), w_{1}=(1,4,7)):
\begin{cases} \alpha+4\beta=1,\\[4pt] 2\alpha+5\beta=4,\\[4pt] 3\alpha+6\beta=7. \end{cases}
Vamos resolver por eliminação (mostro os passos para fazer sem calculadora):
  • Da primeira equação: \alpha=1-4\beta\]. - Substituo na segunda: \(2(1-4\beta)+5\beta=4\Rightarrow 2-8\beta+5\beta=4\Rightarrow -3\beta=2-4=-2\Rightarrow \beta=-\tfrac{2}{3}.
    - Com \beta=-\tfrac{2}{3}, temos \alpha=1-4(-\tfrac{2}{3})=1+\tfrac{8}{3}=\tfrac{11}{3}.
    - Conferência rápida: terceira equação dá 3\alpha+6\beta=3\cdot\tfrac{11}{3}+6\cdot(-\tfrac{2}{3})=11-4=7, bate certinho.
Logo
w_{1}=\tfrac{11}{3}\,v_{1}-\tfrac{2}{3}\,v_{2}.]

Passo 6

Agora w_{2}\) como combinação de \(v_{1}\) e \(v_{2}\). Procuramos \(\gamma,\delta\) tais que \[w_{2}=\gamma v_{1}+\delta v_{2}.
Componentes: w_{2}=(2,5,8), então
\begin{cases} \gamma+4\delta=2,\\[4pt] 2\gamma+5\delta=5,\\[4pt] 3\gamma+6\delta=8. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira: \gamma=2-4\delta\]. - Substituo na segunda: \(2(2-4\delta)+5\delta=5\Rightarrow 4-8\delta+5\delta=5\Rightarrow -3\delta=5-4=1\Rightarrow \delta=-\tfrac{1}{3}.
    - Com \delta=-\tfrac{1}{3}, \gamma=2-4(-\tfrac{1}{3})=2+\tfrac{4}{3}=\tfrac{10}{3}.
    - Conferência: terceira equação 3\gamma+6\delta=3\cdot\tfrac{10}{3}+6\cdot(-\tfrac{1}{3})=10-2=8 confirma.
Logo
w_{2}=\tfrac{10}{3}\,v_{1}-\tfrac{1}{3}\,v_{2}.]

Passo 7

Pequeno comentário pedagógico sobre consistência: cada sistema tinha três equações (uma por componente) e duas incógnitas; a terceira equação serviu como verificação de consistência e deu o mesmo resultado — isso acontece porque os vetores v_{1},v_{2},v_{3} (e também w_{1},w_{2},w_{3}) não são todos independentes, há dependência linear já indicada pelas relações anteriores.

Passo 8

Agora expressar v_{1}\) como combinação de \(w_{1}\) e \(w_{2}\). Procuramos \(a,b\) tais que \[v_{1}=a\,w_{1}+b\,w_{2}.
Escrevendo componentes ( v_{1}=(1,2,3), w_{1}=(1,4,7), w_{2}=(2,5,8)):
\begin{cases} a+2b=1,\\[4pt] 4a+5b=2,\\[4pt] 7a+8b=3. \end{cases}
Resolver por eliminação:
  • Da primeira: a=1-2b\]. - Substituo na segunda: \(4(1-2b)+5b=2\Rightarrow 4-8b+5b=2\Rightarrow -3b=2-4=-2\Rightarrow b=\tfrac{2}{3}.
    - Com b=\tfrac{2}{3}, a=1-2\cdot\tfrac{2}{3}=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3}.
    - Conferência: terceira equação 7a+8b=7(-\tfrac{1}{3})+8(\tfrac{2}{3})=(-\tfrac{7}{3}+\tfrac{16}{3})=\tfrac{9}{3}=3 OK.
Portanto
v_{1}=-\tfrac{1}{3}\,w_{1}+\tfrac{2}{3}\,w_{2}.]

Passo 9

Finalmente v_{2}\) como combinação de \(w_{1}\) e \(w_{2}\). Procuramos \(c,d\) tais que \[v_{2}=c\,w_{1}+d\,w_{2}.
Componentes ( v_{2}=(4,5,6)):
\begin{cases} c+2d=4,\\[4pt] 4c+5d=5,\\[4pt] 7c+8d=6. \end{cases}
Resolver:
  • Da primeira: c=4-2d\]. - Substituo na segunda: \(4(4-2d)+5d=5\Rightarrow 16-8d+5d=5\Rightarrow -3d=5-16=-11\Rightarrow d=\tfrac{11}{3}.
    - Com d=\tfrac{11}{3}, c=4-2\cdot\tfrac{11}{3}=4-\tfrac{22}{3}=\tfrac{12-22}{3}=-\tfrac{10}{3}.
    - Conferência: terceira eq. 7c+8d=7(-\tfrac{10}{3})+8(\tfrac{11}{3})=(-\tfrac{70}{3}+\tfrac{88}{3})=\tfrac{18}{3}=6 OK.
Assim
v_{2}=-\tfrac{10}{3}\,w_{1}+\tfrac{11}{3}\,w_{2}.]

Passo 10

Resumo interpretativo e incentivo:
  • Verificámos as relações pedidas diretamente por cálculo componente a componente.
  • Mostrei como montar e resolver (por eliminação) os sistemas lineares que aparecem quando se pede para escrever um vetor como combinação linear de outros dois. Esse é o procedimento típico que dá para fazer na prova sem calculadora: escrever as equações das componentes, isolar uma incógnita e substituir, conferindo sempre na terceira equação.
  • Observação importante: as relações encontradas mostram dependências lineares entre linhas e entre colunas (por isso a terceira linha/coluna não é necessária para gerar o espaço gerado pelas duas primeiras). Respira: é difícil no começo, mas praticando esse tipo de sistema fica automático — vai dar certo na prova!

Resposta

v_{1}=2v_{2}-v_{3}
w_{1}=2w_{2}-w_{3}
w_{1}=\dfrac{11}{3}v_{1}-\dfrac{2}{3}v_{2}
w_{2}=\dfrac{10}{3}v_{1}-\dfrac{1}{3}v_{2}
v_{1}=-\dfrac{1}{3}w_{1}+\dfrac{2}{3}w_{2}
v_{2}=-\dfrac{10}{3}w_{1}+\dfrac{11}{3}w_{2}

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