Verificar as relações \,v_{1}=2v_{2}-v_{3} e \,w_{1}=2w_{2}-w_{3}.
Expressar w_{1} e w_{2} como combinações lineares de v_{1} e v_{2}.
Expressar v_{1} e v_{2} como combinações lineares de w_{1} e w_{2}.
A resolução começa a partir daqui.]
Passo 2
Rápida revisão (didática) do que é combinar linearmente vetores:
Dizer que x é combinação linear de u e v significa que existem escalares a,b tais que x=a\,u+b\,v.
Para vetores em \mathbb{R}^{3} isso vira um sistema de três equações (uma para cada componente). Vou tratar vetores-linha e vetores-coluna como vetores em \mathbb{R}^{3} (ou seja, só interessa o mesmo espaço de coordenadas); a orientação (linha/coluna) não impede formar combinações lineares dos seus componentes.
Agora já temos os vetores escritos; vamos checar as igualdades pedidas.
Passo 3
Verificação da relação entre linhas: calcular 2v_{2}-v_{3}.
Escrevendo componentes:
2v_{2}-v_{3}=2(4,5,6)-(7,8,9).
Fazendo a multiplicação e subtração componente a componente:
2(4,5,6)=(8,10,12),
(8,10,12)-(7,8,9)=(8-7,\,10-8,\,12-9)=(1,2,3).
Portanto
2v_{2}-v_{3}=(1,2,3)=v_{1},
logo a relação \,v_{1}=2v_{2}-v_{3} está verificada.
Passo 4
Verificação da relação entre colunas: calcular 2w_{2}-w_{3}.
Escrevendo componentes:
Agora vamos expressar w_{1}\) como combinação linear de \(v_{1}\) e \(v_{2}\).
Procuramos escalares \(\alpha,\beta\) tais que
\[w_{1}=\alpha v_{1}+\beta v_{2}.
Escrevendo componente a componente (usando v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(4,5,6), w_{1}=(1,4,7)):
Da primeira: \gamma=2-4\delta\].
- Substituo na segunda: \(2(2-4\delta)+5\delta=5\Rightarrow 4-8\delta+5\delta=5\Rightarrow -3\delta=5-4=1\Rightarrow \delta=-\tfrac{1}{3}.
- Com \delta=-\tfrac{1}{3}, \gamma=2-4(-\tfrac{1}{3})=2+\tfrac{4}{3}=\tfrac{10}{3}.
- Conferência: terceira equação 3\gamma+6\delta=3\cdot\tfrac{10}{3}+6\cdot(-\tfrac{1}{3})=10-2=8 confirma.
Logo
w_{2}=\tfrac{10}{3}\,v_{1}-\tfrac{1}{3}\,v_{2}.]
Passo 7
Pequeno comentário pedagógico sobre consistência: cada sistema tinha três equações (uma por componente) e duas incógnitas; a terceira equação serviu como verificação de consistência e deu o mesmo resultado — isso acontece porque os vetores v_{1},v_{2},v_{3} (e também w_{1},w_{2},w_{3}) não são todos independentes, há dependência linear já indicada pelas relações anteriores.
Passo 8
Agora expressar v_{1}\) como combinação de \(w_{1}\) e \(w_{2}\).
Procuramos \(a,b\) tais que
\[v_{1}=a\,w_{1}+b\,w_{2}.
Verificámos as relações pedidas diretamente por cálculo componente a componente.
Mostrei como montar e resolver (por eliminação) os sistemas lineares que aparecem quando se pede para escrever um vetor como combinação linear de outros dois. Esse é o procedimento típico que dá para fazer na prova sem calculadora: escrever as equações das componentes, isolar uma incógnita e substituir, conferindo sempre na terceira equação.
Observação importante: as relações encontradas mostram dependências lineares entre linhas e entre colunas (por isso a terceira linha/coluna não é necessária para gerar o espaço gerado pelas duas primeiras). Respira: é difícil no começo, mas praticando esse tipo de sistema fica automático — vai dar certo na prova!