1. Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(c) u=x^{2} t+2 y ; v=x t^{2}-y t

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede. Foi dado o campo de velocidades dependente de x,y,t:
u = x^{2} t + 2y,
v = x t^{2} - y t.
A pergunta é: esse par (u,v) representa um possível caso de escoamento bidimensional incompressível? Ou seja, devemos verificar se as componentes dadas satisfazem a condição de incompressibilidade em todo o domínio e para todo t.

Passo 2

Lembrete didático sobre a condição de incompressibilidade em 2D: para um escoamento bidimensional incompressível a densidade é constante e a equação da continuidade reduz-se à exigência de divergência nula do campo velocidade. Em termos das componentes u(x,y,t) e v(x,y,t), isso é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Explicando devagar: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando se varia x mantendo y e t fixos; \dfrac{\partial v}{\partial y} é a taxa de variação de v quando se varia y mantendo x e t fixos. Para ser incompressível, a soma dessas taxas deve ser zero em todos os pontos e tempos.

Passo 3

Vou calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} passo a passo. A função é u(x,y,t) = x^{2} t + 2y. Ao derivar em relação a x, t e y são tratados como constantes:
  • A derivada de x^{2} t em relação a x é 2x t (porque t é constante e a derivada de x^{2} é 2x).
  • A derivada de 2y em relação a x é 0 (pois não depende de x).
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial x} = 2 x t.

Passo 4

Agora calculo \dfrac{\partial v}{\partial y}. A função é v(x,y,t) = x t^{2} - y t. Ao derivar em relação a y:
  • A derivada de x t^{2} em relação a y é 0 (não depende de y).
  • A derivada de -y t em relação a y é -t (pois t é constante e derivada de y é 1).
    Portanto
\frac{\partial v}{\partial y} = -t.

Passo 5

Somando as duas derivadas para obter a divergência:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 2 x t - t = t(2x-1).
Para que o escoamento seja incompressível essa expressão deve ser identicamente zero para todo x,y,t. A condição t(2x-1)=0 só é satisfeita em casos especiais (por exemplo t=0 para todo x, ou x=\tfrac{1}{2} para todo t), mas não é nula para todos os x e t em geral.

Passo 6

Conclusão didática: como a divergência não é zero para todos os pontos e tempos (exceto em casos particulares), o campo (u,v) dado não representa, em geral, um escoamento bidimensional incompressível. Em provas, o procedimento padrão é justamente calcular \partial u/\partial x e \partial v/\partial y e verificar se a soma é identicamente zero.

Resposta

Não — a divergência é \;t(2x-1)\;, que não é zero em geral (só é zero quando t=0 ou x=\tfrac{1}{2}).

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