- Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(c)
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede. Foi dado o campo de velocidades dependente de
:
A pergunta é: esse par
representa um possível caso de escoamento bidimensional incompressível? Ou seja, devemos verificar se as componentes dadas satisfazem a condição de incompressibilidade em todo o domínio e para todo
.
Passo 2
Lembrete didático sobre a condição de incompressibilidade em 2D: para um escoamento bidimensional incompressível a densidade é constante e a equação da continuidade reduz-se à exigência de divergência nula do campo velocidade. Em termos das componentes
e
, isso é
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
quando se varia
mantendo
e
fixos;
é a taxa de variação de
quando se varia
mantendo
e
fixos. Para ser incompressível, a soma dessas taxas deve ser zero em todos os pontos e tempos.
Passo 3
Vou calcular
passo a passo. A função é
. Ao derivar em relação a
,
e
são tratados como constantes:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante e a derivada de é ). - A derivada de
em relação a é (pois não depende de ).
Portanto
Passo 4
Agora calculo
. A função é
. Ao derivar em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (não depende de ). - A derivada de
em relação a é (pois é constante e derivada de é ).
Portanto
Passo 5
Somando as duas derivadas para obter a divergência:
Para que o escoamento seja incompressível essa expressão deve ser identicamente zero para todo
. A condição
só é satisfeita em casos especiais (por exemplo
para todo
, ou
para todo
), mas não é nula para todos os
e
em geral.
Passo 6
Conclusão didática: como a divergência não é zero para todos os pontos e tempos (exceto em casos particulares), o campo
dado não representa, em geral, um escoamento bidimensional incompressível. Em provas, o procedimento padrão é justamente calcular
e
e verificar se a soma é identicamente zero.
Resposta
Não — a divergência é
, que não é zero em geral (só é zero quando
ou
).