3.18 As contas de poupança vitalícias, conhecidas como LSAs (sigla de lifetime savings accounts),
possibilitariam às pessoas investir dinheiro depois do desconto do imposto de renda sem serem tributadas sobre nenhum dos ganhos. Se um engenheiro investir
10.000
$10.000
15 %$ ao ano?
possibilitariam às pessoas investir dinheiro depois do desconto do imposto de renda sem serem tributadas sobre nenhum dos ganhos. Se um engenheiro investir
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule quanto haverá na conta imediatamente após o último depósito, sabendo que a pessoa fez um depósito de
agora e mais
anualmente durante os próximos 20 anos, e que a conta rende
ao ano. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Vamos assumir a interpretação padrão: o depósito de
ocorre ao final de cada ano (anos
), além do depósito inicial em
. A resposta será o valor acumulado em
logo após o depósito do ano 20.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem calcular ainda): o valor na conta em
é a soma de duas parcelas:
- O valor futuro do depósito único feito agora (
) capitalizado por anos. - O valor futuro dos
depósitos anuais de feitos nos finais dos anos a (isto é uma anuidade ordinária) acumulada até .
Vou apresentar as fórmulas usadas, explicar cada símbolo e depois substituir os números e calcular passo a passo.
Passo 3
Valor futuro de um depósito único (single sum).
Fórmula:
Fórmula:
onde
-
é o valor presente (o depósito inicial), -
é a taxa de juros por período, -
é o número de períodos, -
é o valor futuro após períodos.
Aplicando ao depósito inicial
:
Agora calculamos
. Podemos fazer multiplicações sucessivas:
Portanto
Passo 4
Valor futuro de uma anuidade ordinária (pagamentos no final de cada período).
Fórmula:
Fórmula:
onde
-
é o pagamento por período (aqui ), -
e já definidos, -
é o fator que soma a contribuição acumulada de todos os pagamentos.
Breve demonstração (intuição): os pagamentos formam uma soma geométrica:
essa soma é igual a
.
Agora substituímos
,
,
:
Usando o valor já calculado de
:
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Passo 5
Somando as duas parcelas para obter o valor total imediatamente após o depósito em
:
Arredondei para centavos; o resultado é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação rápida para a prova: pense como duas pilhas — a primeira é o que você coloca agora e deixa crescer por 20 anos; a segunda é a pilha formada pelos depósitos anuais que você vai fazendo (cada depósito tem menos tempo para render, então usamos a fórmula da anuidade). A combinação das duas dá o total mostrado acima. Você pode memorizar as duas fórmulas essenciais:
para soma única e
para anuidade ordinária — com elas você resolve esse tipo de problema na prova rapidinho.