3.18 As contas de poupança vitalícias, conhecidas como LSAs (sigla de lifetime savings accounts),
possibilitariam às pessoas investir dinheiro depois do desconto do imposto de renda sem serem tributadas sobre nenhum dos ganhos. Se um engenheiro investir \ 10.000 agora e$10.000 anualmente durante os próximos 20 anos, quanto haverá na conta, imediatamente após o último depósito, se ela cresce a uma taxa deóáóúó15 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule quanto haverá na conta imediatamente após o último depósito, sabendo que a pessoa fez um depósito de \$10{.}000 agora e mais \$10{.}000 anualmente durante os próximos 20 anos, e que a conta rende 15\% ao ano. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Depósito inicial (no instante }t=0\text{): }P_0=\$10{.}000\\\ &\text{Depósito anual (no final de cada ano, anos }1\text{ a }20\text{): }PMT=\$10{.}000\\\ &\text{Taxa de juros anual: }i=15\%=0{,}15\\\ &\text{Número de anos (até o último depósito): }n=20\\\ &\text{Ponto em que queremos o valor: imediatamente após o depósito em }t=20. \end{aligned}óóúéúóóó
Vamos assumir a interpretação padrão: o depósito de PMT ocorre ao final de cada ano (anos 1,2,\dots,20), além do depósito inicial em t=0. A resposta será o valor acumulado em t=20 logo após o depósito do ano 20.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem calcular ainda): o valor na conta em t=20 é a soma de duas parcelas:
  1. O valor futuro do depósito único feito agora ( P_0) capitalizado por 20 anos.
  2. O valor futuro dos 20 depósitos anuais de PMT feitos nos finais dos anos 1 a 20 (isto é uma anuidade ordinária) acumulada até t=20.
Vou apresentar as fórmulas usadas, explicar cada símbolo e depois substituir os números e calcular passo a passo.

Passo 3

Valor futuro de um depósito único (single sum).
Fórmula:
FV_{\text{single}} = PV\,(1+i)^n
onde
  • PV é o valor presente (o depósito inicial),
  • i é a taxa de juros por período,
  • n é o número de períodos,
  • FV_{\text{single}} é o valor futuro após n períodos.
Aplicando ao depósito inicial P_0=\$10{.}000:
FV_0 = 10{.}000\,(1+0{,}15)^{20} = 10{.}000\,(1{,}15)^{20}.
Agora calculamos (1{,}15)^{20}. Podemos fazer multiplicações sucessivas:
\begin{aligned} (1{,}15)^2&=1{,}3225\\\ (1{,}15)^3&=1{,}520875\\\ (1{,}15)^4&=1{,}74900625\\\ (1{,}15)^5&=2{,}0113571875\\\ \vdots\\\ (1{,}15)^{20}&\approx 16{,}36596087138158 \end{aligned}
Portanto
FV_0 = 10{.}000 \times 16{,}36596087138158 \approx \$163{.}659{,}61.

Passo 4

Valor futuro de uma anuidade ordinária (pagamentos no final de cada período).
Fórmula:
FV_{\text{ann}} = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}
onde
  • PMT é o pagamento por período (aqui \$10{.}000),
  • i e n já definidos,
  • \frac{(1+i)^n - 1}{i} é o fator que soma a contribuição acumulada de todos os pagamentos.
Breve demonstração (intuição): os pagamentos formam uma soma geométrica:
FV_{\text{ann}} = PMT\big[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+(1+i)^0\big],
essa soma é igual a PMT\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}.
Agora substituímos PMT=10{.}000, i=0{,}15, n=20:
FV_{\text{ann}} = 10{.}000\cdot\frac{(1{,}15)^{20}-1}{0{,}15}.
Usando o valor já calculado de (1{,}15)^{20}:
(1{,}15)^{20}-1 \approx 16{,}36596087138158 - 1 = 15{,}36596087138158.
Dividindo por 0{,}15:
\frac{15{,}36596087138158}{0{,}15} \approx 102{,}43973914254387.
Multiplicando por 10{.}000:
FV_{\text{ann}} \approx 10{.}000 \times 102{,}43973914254387 \approx \$1{.}024{.}397{,}39.

Passo 5

Somando as duas parcelas para obter o valor total imediatamente após o depósito em t=20:
FV_{\text{total}} = FV_0 + FV_{\text{ann}} \approx 163{.}659{,}61 + 1{.}024{.}397{,}39 = 1{.}188{.}057{,}00.
Arredondei para centavos; o resultado é aproximadamente \$1{.}188{.}057{,}00.

Passo 6

Interpretação rápida para a prova: pense como duas pilhas — a primeira é o que você coloca agora e deixa crescer por 20 anos; a segunda é a pilha formada pelos depósitos anuais que você vai fazendo (cada depósito tem menos tempo para render, então usamos a fórmula da anuidade). A combinação das duas dá o total mostrado acima. Você pode memorizar as duas fórmulas essenciais: PV(1+i)^n para soma única e PMT\frac{(1+i)^n-1}{i} para anuidade ordinária — com elas você resolve esse tipo de problema na prova rapidinho.

Resposta

\$1{.}188{.}057{,}00

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