3.17 Um engenheiro mecânico que se formou recentemente, com um Master’s Degree, está avaliando a possibilidade de iniciar sua própria empresa de sistemas de ar-condicionado. Ele tem condições de comprar um pacote de design de páginas da Web, dedicado à divulgação de informaçōes, por somente \ 600 ao ano. Se o negócio for bem-sucedido, ele comprará um pacote de e-commerce mais elaborado, que custaóá$4.000 ao ano. Se o engenheiro comprar a página mais barata agora (pagamentos no início do ano) e o pacote de e-commerce daqui a 1 ano (também com pagamentos no início do ano). qual é o valor anual equivalente dos custos do Website durante um período de 5 anos (anos 1 a 5 ), a uma taxa de juros deáíéíéí12 %$ ao ano?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor anual equivalente (uma quantia uniforme por ano) dos custos do Website durante um período de 5 anos (anos 1 a 5), à taxa de juros de 12\% ao ano.
Informações dadas:
  • Pagamento de \$600 feito agora, no início do período (ou seja, no início do ano 1).
  • Pagamento de \$4.000 feito daqui a 1 ano, no início do ano 2 (pagamento também no início do ano).
  • Horizonte: 5 anos (anos 1 a 5).
  • Taxa de juros: i = 12\% ao ano.
Observação: ambos os pagamentos são efetuados no início dos respectivos anos, portanto estamos trabalhando com uma série uniforme do tipo “annuity due” (pagamentos no início de cada período) quando convertermos para um valor anual equivalente.

Passo 2

Entender desconto e valor presente (PV) — aula rápida: quando temos um pagamento futuro F que ocorre n períodos à frente, o valor presente PV (valor hoje) desse pagamento é dado por
PV=\frac{F}{(1+i)^{n}},
onde i é a taxa de juros por período e n é o número de períodos até o pagamento.
  • Aqui i=0,12.
  • O pagamento de \$600 é feito agora (início do ano 1), que é instante t=0, então seu valor presente já é \$600.
  • O pagamento de \$4.000 ocorre daqui a 1 ano (início do ano 2), que é instante t=1. Seu valor presente é
PV_{4000}=\frac{4000}{(1+0,12)^{1}}=\frac{4000}{1,12}.

Passo 3

Calcular numericamente os valores presentes:
PV_{600}=600.
PV_{4000}=\frac{4000}{1,12}= \;4000\times 0,892857142857\ldots = 3571{,}428571\ldots
Somando:
PV_{\text{total}}=600+3571{,}428571\ldots = 4171{,}428571\ldots
(Esse é o valor, em dólares, hoje no instante t=0, que representa os dois pagamentos projetados.)

Passo 4

Converter o valor presente para um valor anual equivalente com pagamentos no início do ano (annuity due) — aula rápida: se A é o valor anual pago no início de cada um dos n anos, o valor presente de uma anuidade de início (annuity due) é
PV = A\cdot \left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)\cdot(1+i).
Explicando cada termo:
  • A é a quantia uniforme por período (o que queremos achar).
  • \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} é o fator presente de uma anuidade ordinária (pagamentos no final do período).
  • Multiplicar por (1+i) desloca a anuidade ordinária para uma anuidade devido (pagamentos no início do período).
    Isolando A temos a fórmula prática:
A = \frac{PV}{\left(\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)(1+i)}.
ou, equivalentemente,
A = PV\cdot \frac{i}{(1-(1+i)^{-n})(1+i)}.
Aqui n=5, i=0,12 e PV é o PV_{\text{total}} que calculamos.

Passo 5

Calcular passo a passo os fatores numéricos e obter A.
  1. Calcular v=(1+i)^{-1}=\dfrac{1}{1,12}=0{,}8928571428571429.
  2. Calcular v^{5}=(1+i)^{-5}. Multiplicando sucessivamente (ou usando calculadora mental aproximada):
v^{5}\approx 0{,}5677945204803692.
  1. Calcular 1-(1+i)^{-5}=1-v^{5}=1-0{,}5677945204803692=0{,}4322054795196308.
  2. Multiplicar por (1+i):
(1-(1+i)^{-5})(1+i)=0{,}4322054795196308\times 1{,}12=0{,}4840701370619865.
  1. Calcular A usando a fórmula
A = PV\cdot \frac{i}{(1-(1+i)^{-n})(1+i)}.
Substituindo PV=4171{,}428571\ldots e i=0,12:
A = 4171{,}428571\ldots \times \frac{0{,}12}{0{,}4840701370619865}.
Calcule o numerador intermediário:
4171{,}428571\ldots \times 0{,}12 = 500{,}5714285714286.
Agora divida:
A = \frac{500{,}5714285714286}{0{,}4840701370619865}\approx 1034{,}157\ldots
Arredondando para centavos, obtemos
A \approx \$1.034,16\\ \text{por ano},
isto é, aproximadamente \$1.034,16 pagos no início de cada ano durante os anos 1 a 5 produzem o mesmo efeito financeiro dos pagamentos originais.

Passo 6

Interpretação final (curta e incentivadora): o valor anual equivalente pedido é a quantia uniforme que, se paga no início de cada ano de 1 a 5, tem o mesmo custo presente que os \$600 agora e \$4.000 no início do ano 2. Você conseguiu — transformamos pagamentos irregulares em uma série uniforme que é muito útil para comparar alternativas na prova!

Resposta

\$1.034,16 por ano

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