3.17 Um engenheiro mecânico que se formou recentemente, com um Master’s Degree, está avaliando a possibilidade de iniciar sua própria empresa de sistemas de ar-condicionado. Ele tem condições de comprar um pacote de design de páginas da Web, dedicado à divulgação de informaçōes, por somente
600
$4.000
12 %$ ao ano?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor anual equivalente (uma quantia uniforme por ano) dos custos do Website durante um período de 5 anos (anos 1 a 5), à taxa de juros de
ao ano.
Informações dadas:
- Pagamento de
feito agora, no início do período (ou seja, no início do ano 1). - Pagamento de
feito daqui a 1 ano, no início do ano 2 (pagamento também no início do ano). - Horizonte: 5 anos (anos 1 a 5).
- Taxa de juros:
ao ano.
Observação: ambos os pagamentos são efetuados no início dos respectivos anos, portanto estamos trabalhando com uma série uniforme do tipo “annuity due” (pagamentos no início de cada período) quando convertermos para um valor anual equivalente.
Passo 2
Entender desconto e valor presente (PV) — aula rápida: quando temos um pagamento futuro
que ocorre
períodos à frente, o valor presente
(valor hoje) desse pagamento é dado por
onde
é a taxa de juros por período e
é o número de períodos até o pagamento.
- Aqui
. - O pagamento de
é feito agora (início do ano 1), que é instante , então seu valor presente já é . - O pagamento de
ocorre daqui a 1 ano (início do ano 2), que é instante . Seu valor presente é
Passo 3
Calcular numericamente os valores presentes:
Somando:
(Esse é o valor, em dólares, hoje no instante
, que representa os dois pagamentos projetados.)
Passo 4
Converter o valor presente para um valor anual equivalente com pagamentos no início do ano (annuity due) — aula rápida: se
é o valor anual pago no início de cada um dos
anos, o valor presente de uma anuidade de início (annuity due) é
Explicando cada termo:
-
é a quantia uniforme por período (o que queremos achar). -
é o fator presente de uma anuidade ordinária (pagamentos no final do período). - Multiplicar por
desloca a anuidade ordinária para uma anuidade devido (pagamentos no início do período).
Isolandotemos a fórmula prática:
ou, equivalentemente,
Aqui
,
e
é o
que calculamos.
Passo 5
Calcular passo a passo os fatores numéricos e obter
.
-
Calcular
. -
Calcular
. Multiplicando sucessivamente (ou usando calculadora mental aproximada):
-
Calcular
-
Multiplicar por
:
- Calcular
usando a fórmula
Substituindo
e
:
Calcule o numerador intermediário:
Agora divida:
Arredondando para centavos, obtemos
isto é, aproximadamente
pagos no início de cada ano durante os anos 1 a 5 produzem o mesmo efeito financeiro dos pagamentos originais.
Passo 6
Interpretação final (curta e incentivadora): o valor anual equivalente pedido é a quantia uniforme que, se paga no início de cada ano de 1 a 5, tem o mesmo custo presente que os
agora e
no início do ano 2. Você conseguiu — transformamos pagamentos irregulares em uma série uniforme que é muito útil para comparar alternativas na prova!