3.19 Que quantia foi depositada anualmente, durante 5 anos, se a conta vale agora \ 100.000 e o último depósito foi realizado há 10 anos? Suponha que a conta tenha rendido juros deúóá7 %$ ao ano.

Passo 1

O enunciado pede: “Qual quantia foi depositada anualmente, durante 5 anos, se a conta vale agora \$100.000 e o último depósito foi realizado há 10 anos? Suponha juros de 7\% ao ano.”\n
Informações relevantes dadas:
  • O valor atual da conta é \$100.000.
  • A taxa de juros é de 7\% ao ano (ou seja, fator de crescimento anual 1,07).
  • Foram feitos depósitos iguais, um por ano, durante 5 anos (ou seja, 5 depósitos).
  • O último desses depósitos ocorreu há 10 anos (ou seja, o depósito mais recente foi 10 anos antes de agora).
    Portanto os depósitos ocorreram há 10,11,12,13,14 anos (contando como “anos atrás”) — ou seja, o depósito mais antigo foi há 14 anos e o mais recente há 10 anos. O que se pede é o valor de cada depósito periódico (mesma quantia em cada ano).

Passo 2

Vamos definir a incógnita e montar a equação que relaciona os depósitos ao valor atual. Seja \(X) a quantia depositada em cada ano (valor nominal do depósito, o mesmo para os 5 depósitos). Cada depósito, feito no passado, cresceu até o presente pela taxa anual 7\%. Se um depósito foi feito há k anos, seu valor atual é \(X(1{,}07)^k).
Como os depósitos foram feitos há 14,13,12,11,10 anos, o valor atual da conta é a soma desses montantes acumulados:
X(1{,}07)^{14} + X(1{,}07)^{13} + X(1{,}07)^{12} + X(1{,}07)^{11} + X(1{,}07)^{10} = 100.000.

Passo 3

Fatoramos a soma para simplificar usando uma potência em comum. Observe que todos os termos têm fator (1{,}07)^{10}, então:
(1{,}07)^{10}\bigl(X(1{,}07)^4 + X(1{,}07)^3 + X(1{,}07)^2 + X(1{,}07) + X\bigr) = 100.000.
Ou seja,
X(1{,}07)^{10}\bigl(1 + 1{,}07 + (1{,}07)^2 + (1{,}07)^3 + (1{,}07)^4\bigr) = 100.000.

Passo 4

A soma dentro do parêntese é uma soma geométrica de 5 termos com razão r = 1{,}07. A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (começando em 1) é:
1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1} = \frac{r^n - 1}{r - 1}.
Aqui n=5 e r=1{,}07. Aplicando a fórmula:
1 + 1{,}07 + (1{,}07)^2 + (1{,}07)^3 + (1{,}07)^4 = \frac{(1{,}07)^5 - 1}{1{,}07 - 1}.
Substituindo isso na equação do Passo 3, obtemos a expressão para X:
X = \frac{100.000}{(1{,}07)^{10}\dfrac{(1{,}07)^5 - 1}{1{,}07 - 1}}.

Passo 5

Agora vamos calcular passo a passo os fatores numéricos (faço as contas com aproximações decimais suficientes para a prova, mostrando como obter cada potência sem pular etapas).
Calcule (1{,}07)^2, (1{,}07)^3, \dots por multiplicações sucessivas:
(1{,}07)^1 = 1{,}07
(1{,}07)^2 = 1{,}07 \times 1{,}07 = 1{,}1449
(1{,}07)^3 = 1{,}1449 \times 1{,}07 = 1{,}225043
(1{,}07)^4 = 1{,}225043 \times 1{,}07 = 1{,}31079601
(1{,}07)^5 = 1{,}31079601 \times 1{,}07 = 1{,}4025517307 \quad(\text{aprox.})
Agora calcule (1{,}07)^{10} observando que (1{,}07)^{10} = \bigl((1{,}07)^5\bigr)^2, ou multiplicando progressivamente:
(1{,}07)^6 = (1{,}07)^5 \times 1{,}07 = 1{,}4025517307 \times 1{,}07 = 1{,}500730352449
(1{,}07)^7 = 1{,}500730352449 \times 1{,}07 = 1{,}60578147672043
(1{,}07)^8 = 1{,}60578147672043 \times 1{,}07 = 1{,}71818618009086
(1{,}07)^9 = 1{,}71818618009086 \times 1{,}07 = 1{,}83845921269722
(1{,}07)^{10} = 1{,}83845921269722 \times 1{,}07 = 1{,}96715135758603 \quad(\text{aprox.})

Passo 6

Calcule agora a soma geométrica pelo método da fórmula:
\frac{(1{,}07)^5 - 1}{1{,}07 - 1} = \frac{1{,}4025517307 - 1}{0{,}07} = \frac{0{,}4025517307}{0{,}07} = 5{,}750739010.
Multiplicamos isso por (1{,}07)^{10}:
(1{,}07)^{10}\times 5{,}750739010 \approx 1{,}96715135758603 \times 5{,}750739010 = 11{,}312573050644442 \quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Agora isolamos X na expressão do Passo 4:
X = \frac{100.000}{11{,}312573050644442} \approx 8.839{,}721944858.
Arredondando para centavos (do jeito que se faz em dinheiro), obtemos:
X \approx \$8.839{,}72.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): calcule a soma acumulada usando X \approx \$8.839{,}72:
S \approx 8.839{,}72\bigl((1{,}07)^{10} + (1{,}07)^{11} + (1{,}07)^{12} + (1{,}07)^{13} + (1{,}07)^{14}\bigr).
Usando os fatores calculados anteriormente dá aproximadamente \$100.000 (pequena diferença de arredondamento é esperada). Isso confirma a consistência do resultado.

Resposta

\$8.839{,}72

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