3.19 Que quantia foi depositada anualmente, durante 5 anos, se a conta vale agora
100.000
7 %$ ao ano.
Passo 1
O enunciado pede: “Qual quantia foi depositada anualmente, durante 5 anos, se a conta vale agora
e o último depósito foi realizado há 10 anos? Suponha juros de
ao ano.”\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O valor atual da conta é
. - A taxa de juros é de
ao ano (ou seja, fator de crescimento anual ). - Foram feitos depósitos iguais, um por ano, durante
anos (ou seja, depósitos). - O último desses depósitos ocorreu há
anos (ou seja, o depósito mais recente foi anos antes de agora).
Portanto os depósitos ocorreram háanos (contando como “anos atrás”) — ou seja, o depósito mais antigo foi há anos e o mais recente há anos. O que se pede é o valor de cada depósito periódico (mesma quantia em cada ano).
Passo 2
Vamos definir a incógnita e montar a equação que relaciona os depósitos ao valor atual. Seja
) a quantia depositada em cada ano (valor nominal do depósito, o mesmo para os 5 depósitos). Cada depósito, feito no passado, cresceu até o presente pela taxa anual
. Se um depósito foi feito há
anos, seu valor atual é
).
Como os depósitos foram feitos há anos, o valor atual da conta é a soma desses montantes acumulados:
Como os depósitos foram feitos há
Passo 3
Fatoramos a soma para simplificar usando uma potência em comum. Observe que todos os termos têm fator
, então:
Ou seja,
Passo 4
A soma dentro do parêntese é uma soma geométrica de 5 termos com razão
. A fórmula da soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica (começando em
) é:
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Substituindo isso na equação do Passo 3, obtemos a expressão para
:
Passo 5
Agora vamos calcular passo a passo os fatores numéricos (faço as contas com aproximações decimais suficientes para a prova, mostrando como obter cada potência sem pular etapas).
Calcule
por multiplicações sucessivas:
Agora calcule
observando que
, ou multiplicando progressivamente:
Passo 6
Calcule agora a soma geométrica pelo método da fórmula:
Multiplicamos isso por
:
Passo 7
Agora isolamos
na expressão do Passo 4:
Arredondando para centavos (do jeito que se faz em dinheiro), obtemos:
Passo 8
Verificação rápida (checagem): calcule a soma acumulada usando
:
Usando os fatores calculados anteriormente dá aproximadamente
(pequena diferença de arredondamento é esperada). Isso confirma a consistência do resultado.