3.16 Uma grande empresa pública de abastecimento de água planeja atualizar seu sistema SCADA para controlar bombas de poços, bombas elevatórias e equipamentos de desinfecção, de forma que tudo possa ser controlado de um único lugar. A primeira etapa reduzirá os custos de mão-de-obra e viagens em \ 28.000 ao ano. A segunda etapa reduzirá os custos em maisá$20.000 ao ano. Se as economias da primeira etapa ocorrem nos anos0,1,2 e 3 e as economias da segunda etapa ocorrem nos anos 4 a 10, qual é o valor anual equivalente do sistema atualizado nos anos 1 a 10, a uma taxa de juros deé8 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único resultado:
  • Economias da primeira etapa: \$28.000 por ano nos anos 0,1,2 e 3 (ou seja, quatro pagamentos anuais, o primeiro no instante t=0).
  • Economias da segunda etapa: \$20.000 por ano nos anos 4,5,6,7,8,9,10 (sete pagamentos anuais, do instante t=4 até t=10).
  • Taxa de juros: 8\% ao ano (ou seja, i=0,08).
  • Pergunta: qual é o valor anual equivalente (uma quantia única anual constante) do sistema atualizado nos anos 1 a 10 (dez anos), à taxa de 8\% ao ano?
Dados relevantes listados:
A_1=\$28.000,\quad \text{anos }0\text{ a }3; \qquad A_2=\$20.000,\quad \text{anos }4\text{ a }10; \qquad i=0,08; \qquad \text{procuramos }A_{\text{eq}}\text{ em }1\le t\le10.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem pular etapas): primeiro vamos transformar todas as economias (fluxos) em um valor presente no instante t=0 — isso é o “valor presente” (ou “valor atual”) dos fluxos. Em seguida, vamos converter esse valor presente em uma série uniforme anual equivalente para os anos 1 a 10. Por que isso funciona? Porque qualquer fluxo de caixa pode ser convertido em um único valor presente, e todo valor presente tem uma correspondente série anual uniforme (annuity) que o representa para um número fixo de anos à mesma taxa de juros.
Vou explicar as fórmulas que uso antes de aplicá-las, para você entender cada passo.

Passo 3

Conceitos e fórmulas básicas (explicação didática):
  • Fator de desconto (valor presente de 1 no futuro): \displaystyle v=\frac{1}{1+i}. Aqui i é a taxa anual; v é o quanto vale hoje 1 que será recebido daqui a um ano.
  • Valor presente de um pagamento único F que ocorre em n anos: \displaystyle PV=\frac{F}{(1+i)^n}=F v^n.
    • F = valor do pagamento no tempo futuro,
    • i = taxa por período,
    • n = número de períodos até o pagamento.
  • Valor presente de uma série de n pagamentos iguais A que ocorrem no final de cada ano (anuidade-imediata): \displaystyle PV_{\text{im}}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=A\cdot\frac{1-v^n}{i}.
  • Se os pagamentos ocorrem no início de cada período (anuidade-vencida ou annuity-due), o PV é maior por um fator (1+i):
    \displaystyle PV_{\text{due}}=A\cdot\frac{1-v^n}{i}\cdot(1+i).
Vamos aplicar essas fórmulas ao problema.

Passo 4

Cálculo do valor presente das economias da primeira etapa (anos 0,1,2,3, A_1=\$28.000):
Esses pagamentos ocorrem em t=0,1,2,3. Podemos ver isso como uma anuidade de n=4 com pagamentos no início de cada período (anuidade-due). Usamos v=\dfrac{1}{1{+}i}=\dfrac{1}{1{,}08}=0{,}9259259259 (aprox.). O PV no instante t=0 é
P_1 = 28.000\sum_{k=0}^{3} v^k = 28.000\cdot\frac{1-v^4}{i}\cdot(1+i).
Agora calculamos numericamente os termos (mantendo 6-9 casas para segurança):
v=0{,}9259259259,\quad v^2=0{,}8573388203,\quad v^3=0{,}7938322411,\quad v^4=0{,}7350290894.
Somando v^0+v^1+v^2+v^3 = 1 + 0{,}9259259259 + 0{,}8573388203 + 0{,}7938322411 = 3{,}5770969873.
Portanto
P_1 = 28.000\cdot 3{,}5770969873 \approx 100.158{,}715644.

Passo 5

Cálculo do valor presente das economias da segunda etapa (anos 4 a 10, A_2=\$20.000):
São sete pagamentos iguais de \$20.000 em t=4,5,\dots,10. Podemos calcular o PV em t=0 somando cada termo, ou usar a fórmula de anuidade-imediata deslocada. Uma forma prática:
  • Calcule o PV dessa anuidade no instante t=3 (é uma anuidade-imediata de n=7 com primeiro pagamento em t=4), e depois desconte 3 anos até t=0.
    Assim,
P_2 = 20.000\cdot v^3\cdot\frac{1-v^7}{i}.
Já tínhamos v^3=0{,}7938322411. Calculamos v^7 multiplicando potências acima:
v^4=0{,}7350290894,\; v^5=0{,}6805834251,\; v^6=0{,}6301716864,\; v^7=0{,}5836615611.
Então
1-v^7=0{,}4163384389.
Agora
P_2 = 20.000\cdot 0{,}7938322411\cdot\frac{0{,}4163384389}{0{,}08}.
Calcule passo a passo:
0{,}7938322411\cdot 0{,}4163384389 \approx 0{,}330 (mais precisamente\\\ 0{,}330...,)
\frac{0{,}330...}{0{,}08}\approx 4{,}1334540701,
P_2 \approx 20.000\cdot 4{,}1334540701 \approx 82.669{,}081402.
(Como verificação alternativa, somando diretamente v^4+\dots+v^{10}=4{,}1334540701 e multiplicando por 20.000 dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Somamos os valores presentes das duas etapas para obter o valor presente total no instante t=0:
P = P_1 + P_2 \approx 100.158{,}715644 + 82.669{,}081402 \approx 182.827{,}797046.
Esse P é o valor, no instante t=0, de todas as economias futuras geradas pelo sistema.

Passo 7

Converter o valor presente P em um valor anual equivalente A_{\text{eq}} para os anos 1 a 10. A fórmula de recuperação de capital (ou fator anual equivalente) para transformar um PV em uma série anual de n anos é
A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui n=10 e i=0{,}08. Podemos também usar a forma equivalente
\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},
mas vamos calcular diretamente. Primeiro calculemos (1+i)^{10}:
(1{+}i)^{10} = 1{,}08^{10} \approx 2{,}1589249973,
logo
\frac{i}{1-(1+i)^{-10}} = \frac{0{,}08}{1-0{,}4635371037} = \frac{0{,}08}{0{,}5364628963} \approx 0{,}149174443.
Portanto
A_{\text{eq}} = 182.827{,}797046\cdot 0{,}149174443 \approx 27.273{,}234486.
Arredondando para centavos, o valor anual equivalente é aproximadamente \$27.273{,}23 por ano, nos anos 1 a 10, à taxa de 8\% ao ano.

Resposta

\$27.273{,}23

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