3.16 Uma grande empresa pública de abastecimento de água planeja atualizar seu sistema SCADA para controlar bombas de poços, bombas elevatórias e equipamentos de desinfecção, de forma que tudo possa ser controlado de um único lugar. A primeira etapa reduzirá os custos de mão-de-obra e viagens em
28.000
$20.000
0,1,2
8 %$ ao ano?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um único resultado:
- Economias da primeira etapa:
por ano nos anos e (ou seja, quatro pagamentos anuais, o primeiro no instante ). - Economias da segunda etapa:
por ano nos anos (sete pagamentos anuais, do instante até ). - Taxa de juros:
ao ano (ou seja, ). - Pergunta: qual é o valor anual equivalente (uma quantia única anual constante) do sistema atualizado nos anos
a (dez anos), à taxa de ao ano?
Dados relevantes listados:
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem pular etapas): primeiro vamos transformar todas as economias (fluxos) em um valor presente no instante
— isso é o “valor presente” (ou “valor atual”) dos fluxos. Em seguida, vamos converter esse valor presente em uma série uniforme anual equivalente para os anos
a
. Por que isso funciona? Porque qualquer fluxo de caixa pode ser convertido em um único valor presente, e todo valor presente tem uma correspondente série anual uniforme (annuity) que o representa para um número fixo de anos à mesma taxa de juros.
Vou explicar as fórmulas que uso antes de aplicá-las, para você entender cada passo.
Passo 3
Conceitos e fórmulas básicas (explicação didática):
- Fator de desconto (valor presente de
no futuro): . Aqui é a taxa anual; é o quanto vale hoje que será recebido daqui a um ano. - Valor presente de um pagamento único
que ocorre em anos: . -
= valor do pagamento no tempo futuro, -
= taxa por período, -
= número de períodos até o pagamento.
-
- Valor presente de uma série de
pagamentos iguais que ocorrem no final de cada ano (anuidade-imediata): - Se os pagamentos ocorrem no início de cada período (anuidade-vencida ou annuity-due), o PV é maior por um fator
:
Vamos aplicar essas fórmulas ao problema.
Passo 4
Cálculo do valor presente das economias da primeira etapa (anos
,
):
Esses pagamentos ocorrem em
. Podemos ver isso como uma anuidade de
com pagamentos no início de cada período (anuidade-due). Usamos
(aprox.). O PV no instante
é
Agora calculamos numericamente os termos (mantendo 6-9 casas para segurança):
Somando
Portanto
Portanto
Passo 5
Cálculo do valor presente das economias da segunda etapa (anos
a
,
):
São sete pagamentos iguais de
em
. Podemos calcular o PV em
somando cada termo, ou usar a fórmula de anuidade-imediata deslocada. Uma forma prática:
- Calcule o PV dessa anuidade no instante
(é uma anuidade-imediata de com primeiro pagamento em ), e depois desconte 3 anos até .
Assim,
Já tínhamos
. Calculamos
multiplicando potências acima:
Então
Agora
Calcule passo a passo:
(Como verificação alternativa, somando diretamente
e multiplicando por
dá o mesmo resultado.)
Passo 6
Somamos os valores presentes das duas etapas para obter o valor presente total no instante
:
Esse
é o valor, no instante
, de todas as economias futuras geradas pelo sistema.
Passo 7
Converter o valor presente
em um valor anual equivalente
para os anos
a
. A fórmula de recuperação de capital (ou fator anual equivalente) para transformar um PV em uma série anual de
anos é
Aqui
e
. Podemos também usar a forma equivalente
mas vamos calcular diretamente. Primeiro calculemos
:
logo
Portanto
Arredondando para centavos, o valor anual equivalente é aproximadamente
por ano, nos anos
a
, à taxa de
ao ano.