1.18 Dados os pontos A\left(\rho=5, \varphi=70^{\circ}, z=-3\right) e B(\rho=2, \varphi=-30^{\circ}, z=1 ), determine: (a) um vetor unitário em coordenadas cartesianas em A e dirigido para B; (b) um vetor unitário em coordenadas cilíndricas em A e dirigido para B; (c) um vetor unitário em coordenadas cilíndricas em B e dirigido para A.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos em coordenadas cilíndricas e pede três vetores unitários:
Ponto A: \rho_A=5, \phi_A=70^\circ, z_A=-3.
Ponto B: \rho_B=2, \phi_B=-30^\circ, z_B=1.
Perguntas:
(a) Um vetor unitário expresso em coordenadas cartesianas, colocado em A e dirigido para B.
(b) Um vetor unitário expresso nas componentes cilíndricas relativas à base em A (ou seja, componentes \hat{\rho}_A,\hat{\varphi}_A,\hat{z}) e dirigido para B.
(c) Um vetor unitário expresso nas componentes cilíndricas relativas à base em B e dirigido para A.
Informações relevantes dadas: os valores de \rho,\varphi,z de A e B. Não há outras informações externas.
Passo 2
Primeiro vamos converter os pontos de coordenadas cilíndricas para cartesianas. A fórmula de conversão é:
Aqui \rho é a distância radial no plano xy, \varphi é o ângulo medido a partir do eixo x (em graus no enunciado) e z é a coordenada vertical. Vou usar as funções trigonométricas com \varphi em graus.
Passo 3
Calcular as coordenadas cartesianas de A e B.
Para A (usei \cos70^\circ\approx0{,}3420201433 e \sin70^\circ\approx0{,}9396926208):
Essas fórmulas significam: \hat{\rho}_A aponta radialmente para fora no plano; \hat{\varphi}_A é tangencial, girando no sentido positivo; \hat{z} é vertical.
Passo 8
Calculamos as componentes cilíndricas do mesmo vetor unitário \hat{\mathbf{u}}_{A\to B} por projeção (produto escalar):
Portanto a representação nas componentes cilíndricas em A é aproximadamente (-0{,}7681,\,-0{,}2831,\,0{,}5745), onde a ordem é (u_{\rho},u_{\varphi},u_{z}).
Passo 9
Verificação rápida (boa prática): a norma em coordenadas cilíndricas deve satisfazer
Para a letra (c) queremos o vetor unitário expresso nas componentes cilíndricas em B dirigido para A. O vetor de B para A é \Delta \mathbf{r}_{B\to A}=\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B = -\Delta \mathbf{r}_{A\to B}. Assim o vetor unitário em cartesianas é simplesmente -\hat{\mathbf{u}}_{A\to B}:
(a) \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\approx(0{,}003154,\,-0{,}8186,\,0{,}5745) (componentes cartesianas em x,y,z).
(b) \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\big|_{\text{cilíndricas em }A}\approx(-0{,}7681,\,-0{,}2831,\,0{,}5745) (componentes (u_{\rho},u_{\varphi},u_{z}) na base em A).
(c) \hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\big|_{\text{cilíndricas em }B}\approx(-0{,}4120,\;0{,}7076,\,-0{,}5745)í (componentes (u_{\rho},u_{\varphi},u_{z}) na base em B).