1.18 Dados os pontos A\left(\rho=5, \varphi=70^{\circ}, z=-3\right) e B(\rho=2, \varphi=-30^{\circ}, z=1 ), determine: (a) um vetor unitário em coordenadas cartesianas em A e dirigido para B; (b) um vetor unitário em coordenadas cilíndricas em A e dirigido para B; (c) um vetor unitário em coordenadas cilíndricas em B e dirigido para A.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em coordenadas cilíndricas e pede três vetores unitários:
  • Ponto A: \rho_A=5, \phi_A=70^\circ, z_A=-3.
  • Ponto B: \rho_B=2, \phi_B=-30^\circ, z_B=1.
Perguntas:
(a) Um vetor unitário expresso em coordenadas cartesianas, colocado em A e dirigido para B.
(b) Um vetor unitário expresso nas componentes cilíndricas relativas à base em A (ou seja, componentes \hat{\rho}_A,\hat{\varphi}_A,\hat{z}) e dirigido para B.
(c) Um vetor unitário expresso nas componentes cilíndricas relativas à base em B e dirigido para A.
Informações relevantes dadas: os valores de \rho,\varphi,z de A e B. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro vamos converter os pontos de coordenadas cilíndricas para cartesianas. A fórmula de conversão é:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Aqui \rho é a distância radial no plano xy, \varphi é o ângulo medido a partir do eixo x (em graus no enunciado) e z é a coordenada vertical. Vou usar as funções trigonométricas com \varphi em graus.

Passo 3

Calcular as coordenadas cartesianas de A e B.
Para A (usei \cos70^\circ\approx0{,}3420201433 e \sin70^\circ\approx0{,}9396926208):
x_A = 5\cos70^\circ \approx 5\cdot0{,}3420201433 = 1{,}7101007166,
y_A = 5\sin70^\circ \approx 5\cdot0{,}9396926208 = 4{,}6984631039,
z_A = -3.
Para B (usei \cos(-30^\circ)=\cos30^\circ\approx0{,}8660254038 e \sin(-30^\circ)=-0{,}5):
x_B = 2\cos(-30^\circ) \approx 2\cdot0{,}8660254038 = 1{,}7320508076,
y_B = 2\sin(-30^\circ) = 2\cdot(-0{,}5) = -1{,}0,
z_B = 1.

Passo 4

Agora determinamos o vetor que vai de A para B em coordenadas cartesianas: \Delta \mathbf{r}_{A\to B}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A. Componentes:
\Delta x = x_B-x_A \approx 1{,}7320508076 - 1{,}7101007166 = 0{,}0219500909,
\Delta y = y_B-y_A \approx -1{,}0 - 4{,}6984631039 = -5{,}6984631039,
\Delta z = z_B-z_A = 1 - (-3) = 4.

Passo 5

Para tornar esse vetor unitário calculamos o seu módulo e dividimos pelas componentes. O módulo é
\|\Delta \mathbf{r}_{A\to B}\| = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
Substituindo os valores (vou mostrar as parcelas para ficar didático):
(\Delta x)^2 \approx (0{,}0219500909)^2 \approx 0{,}000481,
(\Delta y)^2 \approx (-5{,}6984631039)^2 \approx 32{,}472478,
(\Delta z)^2 = 4^2 = 16.
Somando:
\|\Delta \mathbf{r}_{A\to B}\| \approx \sqrt{0{,}000481 + 32{,}472478 + 16} \approx \sqrt{48{,}472959} \approx 6{,}9628.

Passo 6

O vetor unitário em coordenadas cartesianas em A e dirigido para B é
\hat{\mathbf{u}}_{A\to B}=\frac{\Delta \mathbf{r}_{A\to B}}{\|\Delta \mathbf{r}_{A\to B}\|}.
Dividindo componente a componente:
\hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\approx\bigl(0{,}0219500909/6{,}9628,\; -5{,}6984631039/6{,}9628,\; 4/6{,}9628\bigr).
Fazendo as divisões e arredondando para 4 casas decimais (prática comum em provas):
\hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\approx(0{,}003154,\; -0{,}8186,\; 0{,}5745).
Isso responde a letra (a).

Passo 7

Para expressar o vetor em componentes cilíndricas numa base em A precisamos das direções unitárias locais:
\hat{\rho}_A=(\cos\phi_A,\;\sin\phi_A,\;0),\qquad \hat{\varphi}_A=(-\sin\phi_A,\;\cos\phi_A,\;0),\qquad \hat{z}=(0,0,1).
Essas fórmulas significam: \hat{\rho}_A aponta radialmente para fora no plano; \hat{\varphi}_A é tangencial, girando no sentido positivo; \hat{z} é vertical.

Passo 8

Calculamos as componentes cilíndricas do mesmo vetor unitário \hat{\mathbf{u}}_{A\to B} por projeção (produto escalar):
u_{\rho} = \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\cdot\hat{\rho}_A,\qquad u_{\varphi} = \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\cdot\hat{\varphi}_A,\qquad u_{z} = \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\cdot\hat{z}.
Usando \phi_A=70^\circ, \cos70^\circ\approx0{,}3420201, \sin70^\circ\approx0{,}9396926, e \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\approx(0{,}003154,\,-0{,}8186,\,0{,}5745):
u_{\rho}\approx 0{,}003154\cdot0{,}3420201 + (-0{,}8186)\cdot0{,}9396926 \approx -0{,}7681,
u_{\varphi}\approx 0{,}003154\cdot(-0{,}9396926) + (-0{,}8186)\cdot0{,}3420201 \approx -0{,}2831,
u_{z}\approx 0{,}5745.
Portanto a representação nas componentes cilíndricas em A é aproximadamente (-0{,}7681,\,-0{,}2831,\,0{,}5745), onde a ordem é (u_{\rho},u_{\varphi},u_{z}).

Passo 9

Verificação rápida (boa prática): a norma em coordenadas cilíndricas deve satisfazer
\sqrt{u_{\rho}^2+u_{\varphi}^2+u_{z}^2}\approx 1.
Com os valores acima:
\sqrt{(-0{,}7681)^2+(-0{,}2831)^2+(0{,}5745)^2}\approx 1{,}00,
o que confirma consistência numérica.

Passo 10

Para a letra (c) queremos o vetor unitário expresso nas componentes cilíndricas em B dirigido para A. O vetor de B para A é \Delta \mathbf{r}_{B\to A}=\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B = -\Delta \mathbf{r}_{A\to B}. Assim o vetor unitário em cartesianas é simplesmente -\hat{\mathbf{u}}_{A\to B}:
\hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\approx(-0{,}003154,\;0{,}8186,\;-0{,}5745).

Passo 11

Agora projetamos esse vetor unitário nas direções cilíndricas em B. Para B temos \phi_B=-30^\circ, então
\hat{\rho}_B=(\cos(-30^\circ),\sin(-30^\circ),0)=(0{,}8660254,\,-0{,}5,\,0),
\hat{\varphi}_B=(-\sin(-30^\circ),\cos(-30^\circ),0)=(0{,}5,\;0{,}8660254,\,0).
As componentes são
u_{\rho}^{(B)}=\hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\cdot\hat{\rho}_B, \qquad u_{\varphi}^{(B)}=\hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\cdot\hat{\varphi}_B, \qquad u_{z}^{(B)}=\hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\cdot\hat{z}.
Calculando com \hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\approx(-0{,}003154,\,0{,}8186,\,-0{,}5745):
u_{\rho}^{(B)}\approx -0{,}003154\cdot0{,}8660254 + 0{,}8186\cdot(-0{,}5) \approx -0{,}4120,
u_{\varphi}^{(B)}\approx -0{,}003154\cdot0{,}5 + 0{,}8186\cdot0{,}8660254 \approx 0{,}7076,
u_{z}^{(B)}\approx -0{,}5745.
Verificação rápida: \sqrt{(-0{,}4120)^2+(0{,}7076)^2+(-0{,}5745)^2}\approx 1, consistente.

Resposta

(a) \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\approx(0{,}003154,\,-0{,}8186,\,0{,}5745) (componentes cartesianas em x,y,z).
(b) \hat{\mathbf{u}}_{A\to B}\big|_{\text{cilíndricas em }A}\approx(-0{,}7681,\,-0{,}2831,\,0{,}5745)í (componentes (u_{\rho},u_{\varphi},u_{z}) na base em A).
(c) \hat{\mathbf{u}}_{B\to A}\big|_{\text{cilíndricas em }B}\approx(-0{,}4120,\;0{,}7076,\,-0{,}5745)í (componentes (u_{\rho},u_{\varphi},u_{z}) na base em B).

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