Descreva a superfície definida pela equação: (a) \mathbf{r} \cdot \mathbf{a}_{s} =2, onde \mathbf{r}=x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}+z \mathbf{a}_{z}

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente a superfície dada pela equação
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}_{s}=2,
onde está informado que
\mathbf{r}=x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}+z\,\mathbf{a}_{z}.
Dados relevantes que temos: x,y,z são as coordenadas do ponto cujo vetor posição é \mathbf{r}, e \mathbf{a}_{x},\mathbf{a}_{y},\mathbf{a}_{z} são os vetores de base cartesiana. O vetor \mathbf{a}_{s} é um vetor fixo (constante) no espaço — seus componentes não foram fornecidos explicitamente. Não começarei a resolver aqui; apenas identifiquei o que é pedido e quais são os dados.

Passo 2

Vamos traduzir a equação usando a definição algébrica do produto escalar. Escrevendo \mathbf{a}_{s} pelas suas componentes,
\mathbf{a}_{s}=a_{sx}\,\mathbf{a}_{x}+a_{sy}\,\mathbf{a}_{y}+a_{sz}\,\mathbf{a}_{z},
o produto escalar com \mathbf{r} é
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}_{s}=a_{sx}x+a_{sy}y+a_{sz}z.
Portanto a equação da superfície pode ser escrita em forma cartesiana como
a_{sx}x+a_{sy}y+a_{sz}z=2.
Isto é uma equação linear em x,y,z, do tipo que descreve um plano no espaço tridimensional (desde que \mathbf{a}_{s}\neq\mathbf{0}). Se \mathbf{a}_{s}=\mathbf{0} não haveria solução porque 0\neq 2.

Passo 3

Interpretação geométrica: a constante à direita do produto escalar e o fato do produto ser com um vetor fixo dizem que a superfície é um plano cuja normal é exatamente \mathbf{a}_{s}. Explico por que: se \mathbf{n} é um vetor normal, então a condição \mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=\text{constante} implica que para dois pontos \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 do conjunto temos
(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\cdot\mathbf{n}=0,
ou seja, o vetor entre quaisquer dois pontos do conjunto é ortogonal a \mathbf{n}, característica de um plano com normal \mathbf{n}. Aqui \mathbf{n}=\mathbf{a}_{s}.

Passo 4

Vamos encontrar um ponto particular \mathbf{r}_0 que satisfaça a equação — isso ajuda a localizar o plano. Tome \mathbf{r}_0 paralelo a \mathbf{a}_{s}, isto é \mathbf{r}_0=\lambda\mathbf{a}_{s}. Substituindo na equação:
\mathbf{a}_{s}\cdot(\lambda\mathbf{a}_{s})=\lambda\|\mathbf{a}_{s}\|^{2}=2.
Logo
\lambda=\frac{2}{\|\mathbf{a}_{s}\|^{2}},
e um ponto no plano é
\mathbf{r}_{0}=\frac{2}{\|\mathbf{a}_{s}\|^{2}}\mathbf{a}_{s}.
Verificação rápida: \mathbf{a}_{s}\cdot\mathbf{r}_0=2 pela construção.

Passo 5

Forma paramétrica do plano (útil para entender e para aplicações em prova): escolha dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} tais que \mathbf{u}\cdot\mathbf{a}_{s}=0 e \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_{s}=0 (ou seja, \mathbf{u},\mathbf{v} ortogonais a \mathbf{a}_{s}); então todo ponto do plano pode ser escrito como
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+s\,\mathbf{u}+t\,\mathbf{v},
com s,t\in\mathbb{R}. Isso mostra claramente que o plano é o deslocamento (por \mathbf{r}_0) do plano que passa pela origem e é ortogonal a \mathbf{a}_{s}.

Passo 6

Agora a distância do plano ao longo da perpendicular até a origem. A distância (menor distância) do plano \mathbf{a}_{s}\cdot\mathbf{r}=2 até a origem é dada por
\text{dist}=\frac{|2|}{\|\mathbf{a}_{s}\|}.
Derivação curta: a projeção escalar do vetor \mathbf{r}_{0} sobre a direção unitária \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{a}_{s}/\|\mathbf{a}_{s}\| é \mathbf{r}_0\cdot\hat{\mathbf{n}}=2/\|\mathbf{a}_{s}\|, que é justamente a distância perpendicular signada; o módulo dá a distância positiva.

Passo 7

Casos especiais e exemplos para fixar a intuição (faz bem na prova):
  • Se \mathbf{a}_{s}=\mathbf{a}_{x} (vetor unitário na direção x), a equação vira x=2: é o plano vertical paralelo ao plano yz a distância 2 da origem.
  • Se \mathbf{a}_{s}=2\,\mathbf{a}_{x}, a equação vira 2x=2 ou x=1: a distância é 1=2/\|\mathbf{a}_{s}\|=2/2.
  • Se \mathbf{a}_{s}=\mathbf{0} não há superfície que satisfaça a equação.

Passo 8

Resumo final e frasezinha de ânimo: a superfície é sempre um plano (desde que \mathbf{a}_{s}\neq\mathbf{0}), com normal \mathbf{a}_{s}, passando pelo ponto \mathbf{r}_0=\dfrac{2}{\|\mathbf{a}_{s}\|^{2}}\mathbf{a}_{s} e à distância \dfrac{2}{\|\mathbf{a}_{s}\|} da origem. Se no exame pedirem “mostre que é um plano” ou “encontre um ponto e a normal”, use exatamente estes passos — é rápido e direto.

Resposta

Plano perpendicular a \mathbf{a}_{s}, dado pela equação cartesiana a_{sx}x+a_{sy}y+a_{sz}z=2.
Um ponto do plano é \displaystyle \mathbf{r}_0=\frac{2}{\|\mathbf{a}_{s}\|^{2}}\mathbf{a}_{s}.
A distância do plano à origem é \displaystyle \frac{2}{\|\mathbf{a}_{s}\|}.

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