Descreva a superfície definida pela equação: (a)
, onde
Passo 1
O enunciado pede para descrever geometricamente a superfície dada pela equação
onde está informado que
Dados relevantes que temos:
são as coordenadas do ponto cujo vetor posição é
, e
são os vetores de base cartesiana. O vetor
é um vetor fixo (constante) no espaço — seus componentes não foram fornecidos explicitamente. Não começarei a resolver aqui; apenas identifiquei o que é pedido e quais são os dados.
Passo 2
Vamos traduzir a equação usando a definição algébrica do produto escalar. Escrevendo
pelas suas componentes,
o produto escalar com
é
Portanto a equação da superfície pode ser escrita em forma cartesiana como
Isto é uma equação linear em
, do tipo que descreve um plano no espaço tridimensional (desde que
). Se
não haveria solução porque
.
Passo 3
Interpretação geométrica: a constante à direita do produto escalar e o fato do produto ser com um vetor fixo dizem que a superfície é um plano cuja normal é exatamente
. Explico por que: se
é um vetor normal, então a condição
implica que para dois pontos
do conjunto temos
ou seja, o vetor entre quaisquer dois pontos do conjunto é ortogonal a
, característica de um plano com normal
. Aqui
.
Passo 4
Vamos encontrar um ponto particular
que satisfaça a equação — isso ajuda a localizar o plano. Tome
paralelo a
, isto é
. Substituindo na equação:
Logo
e um ponto no plano é
Verificação rápida:
pela construção.
Passo 5
Forma paramétrica do plano (útil para entender e para aplicações em prova): escolha dois vetores
e
tais que
e
(ou seja,
ortogonais a
); então todo ponto do plano pode ser escrito como
com
. Isso mostra claramente que o plano é o deslocamento (por
) do plano que passa pela origem e é ortogonal a
.
Passo 6
Agora a distância do plano ao longo da perpendicular até a origem. A distância (menor distância) do plano
até a origem é dada por
Derivação curta: a projeção escalar do vetor
sobre a direção unitária
é
, que é justamente a distância perpendicular signada; o módulo dá a distância positiva.
Passo 7
Casos especiais e exemplos para fixar a intuição (faz bem na prova):
- Se
(vetor unitário na direção ), a equação vira : é o plano vertical paralelo ao plano a distância da origem. - Se
, a equação vira ou : a distância é . - Se
não há superfície que satisfaça a equação.
Passo 8
Resumo final e frasezinha de ânimo: a superfície é sempre um plano (desde que
), com normal
, passando pelo ponto
e à distância
da origem. Se no exame pedirem “mostre que é um plano” ou “encontre um ponto e a normal”, use exatamente estes passos — é rápido e direto.
Resposta
Plano perpendicular a
, dado pela equação cartesiana
.
Um ponto do plano é .
A distância do plano à origem é .
Um ponto do plano é
A distância do plano à origem é