\operatorname{Se} \mathbf{D}=5 \mathbf{a}_{r}-3 \mathbf{a}_{g} +4 \mathbf{a}_{\varphi}, determine \mathbf{D} \cdot \mathbf{a}_{p} em M(1,2,3).

Passo 1

O enunciado diz: \mathbf{D}=5\mathbf{a}_{r}-3\mathbf{a}_{g}+4\mathbf{a}_{\varphi} e pede o valor de \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p} no ponto M(1,2,3).
Dados fornecidos explicitamente:
\mathbf{D}=5\mathbf{a}_{r}-3\mathbf{a}_{g}+4\mathbf{a}_{\varphi}, \qquad M(1,2,3).
Pergunta a responder: calcular o produto escalar \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p} avaliado em M.

Passo 2

Para calcular um produto escalar entre vetores (ou entre um vetor expresso numa base e um outro vetor unitário), precisamos que ambos os vetores estejam expressos na mesma base ou então conhecer a relação entre as bases envolvidas. Ou seja, preciso saber como \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{g},\mathbf{a}_{\varphi} e \mathbf{a}_{p} se relacionam com uma base fixa (por exemplo \mathbf{a}_{x},\mathbf{a}_{y},\mathbf{a}_{z}) no ponto M. Sem essa relação não há como obter um valor numérico do produto escalar.

Passo 3

O enunciado não fornece a definição de \mathbf{a}_{g} nem de \mathbf{a}_{p} nem diz qual sistema de coordenadas está sendo usado (por exemplo: cilíndricas, esféricas, ou alguma base curvilínea dada por figura). Como a resolução depende exatamente dessas definições (pois as componentes mudam com a posição e com o sistema de coordenadas), não é possível calcular numericamente \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p} apenas com os dados atuais. Portanto falta informação essencial: a descrição de \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{g},\mathbf{a}_{\varphi},\mathbf{a}_{p} em função de uma base conhecida, ou a figura/definição que as relaciona.

Passo 4

Para você não ficar na mão na prova, explico passo a passo o que faria assim que essas relações forem fornecidas (vou mostrar o procedimento assumindo o caso mais comum — bases cilíndricas — apenas como exemplo didático; se o seu problema usar outra notação, aplique o mesmo raciocínio com as fórmulas correspondentes):
  1. Se as unidades forem as cilíndricas padrão e \mathbf{a}_{g}=\mathbf{a}_{z}, então temos as fórmulas (no ponto M com coordenadas cartesianas x=1,y=2):
\mathbf{a}_{r}=\cos\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\sin\varphi\,\mathbf{a}_{y},\qquad \mathbf{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\cos\varphi\,\mathbf{a}_{y},\qquad \mathbf{a}_{z}=\mathbf{a}_{z}.
  1. Calcule \varphi a partir de x e y: \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{2}{1}\right). Note que \cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{5}} e \sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{5}} porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{5}.
  2. Expresse \mathbf{D} em componentes cartesianas (exemplo assumindo \mathbf{a}_{g}=\mathbf{a}_{z}):
\begin{aligned} \mathbf{D} &=5\mathbf{a}_{r}-3\mathbf{a}_{z}+4\mathbf{a}_{\varphi}\\[4pt] &=5(\cos\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\sin\varphi\,\mathbf{a}_{y})-3\mathbf{a}_{z}+4(-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\cos\varphi\,\mathbf{a}_{y})\\[4pt] &=\big(5\cos\varphi-4\sin\varphi\big)\mathbf{a}_{x}+\big(5\sin\varphi+4\cos\varphi\big)\mathbf{a}_{y}+(-3)\mathbf{a}_{z}. \end{aligned}
Substituindo \cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{5}} e \sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{5}} obtém-se (exemplo)
D_x=\dfrac{5\cdot1-4\cdot2}{\sqrt{5}}=\dfrac{-3}{\sqrt{5}},\qquad D_y=\dfrac{5\cdot2+4\cdot1}{\sqrt{5}}=\dfrac{14}{\sqrt{5}},\qquad D_z=-3.
  1. Finalmente, para obter \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p} é preciso conhecer \mathbf{a}_{p} em componentes cartesianas \mathbf{a}_{p}=(p_x,p_y,p_z). O produto escalar é então
\mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p}=D_x p_x + D_y p_y + D_z p_z.
No exemplo acima, se por acaso \mathbf{a}_{p}=\mathbf{a}_{x} então
\mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p}=D_x=\dfrac{-3}{\sqrt{5}}.
Mas atenção: esse último valor é só um exemplo hipotético, depende totalmente da definição de \mathbf{a}_{p}.]

Resposta

Não é possível determinar numericamente \mathbf{D}\cdot\mathbf{a}_{p} em M(1,2,3) sem a definição/ligação entre \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{g},\mathbf{a}_{\varphi},\mathbf{a}_{p} e uma base conhecida (por exemplo \mathbf{a}_{x},\mathbf{a}_{y},\mathbf{a}_{z}).

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