Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
então
tem infinitas soluções.
II - Se Núcleo
, então
tem solução única para todo
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
II - Se Núcleo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de dimensões
e pede que verifiquemos a veracidade das duas afirmações abaixo:
I - Se
e
então
tem infinitas soluções.
II - Se Núcleo
, então
tem solução única para todo
.
Informações relevantes dadas: a forma da matriz (
) e as condições em cada afirmativa (
,
, e
). Não há outras restrições (por exemplo, não foi dito que
é quadrada ou de posto completo).
Passo 2
Vamos lembrar definições importantes (devagar e sem pressa):
-
(ou espaço coluna de ) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Em símbolos:
- Núcleo de
, escrito , é o conjunto de soluções da equação homogênea :
Se
significa que a única solução do homogêneo é o vetor zero, ou seja, não há vetores não nulos que vão para zero.
Esses dois espaços estão ligados ao posto (rank) de
e à dimensão do núcleo (nullity) por um teorema que vamos usar em seguida.
Passo 3
Enunciamos o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que será útil e que uso passo a passo:
- Definição de posto:
é a dimensão de (número máximo de colunas linearmente independentes). - Definição de nulidade:
.
O Teorema do posto-e-nulidade diz:
ou seja, o número de colunas
se divide entre a dimensão do espaço coluna e a dimensão do núcleo. Isso nos permite relacionar independência linear das colunas com existência/uniquidade de soluções.
Passo 4
Analisando a afirmativa I com raciocínio geral:
A afirmativa diz: se
(ou seja, o sistema é compatível) e
, então
tem infinitas soluções.
Para ter infinitas soluções precisamos que o espaço de soluções da homogênea
tenha dimensão positiva, isto é,
. Pelo teorema da dimensão,
Se
então
e, quando o sistema é compatível, a solução é única; não há infinitas soluções.
Note que
apenas diz que há menos incógnitas que equações, mas não impede que as
colunas sejam linearmente independentes (ou seja, que
). Logo
não garante
.
Passo 5
Para tornar isso bem concreto, vamos dar um contraexemplo simples que mostra que I é falsa.
Escolha
e
(logo
). Tome
que é uma matriz
. As colunas não são nulas, logo as colunas são linearmente independentes e
. A imagem de
é
Escolha
, que está na imagem. O sistema
(aqui
é escalar) fica
ou seja
, que tem a solução única
. Portanto há exatamente uma solução, não infinitas. Conclusão: I é falsa.]
Passo 6
Agora analisamos a afirmativa II:
II diz: Se
então
tem solução única para todo
.
Ter
implica
e, pelo Rank–Nullity,
Isto significa que as colunas de
são linearmente independentes e que
tem dimensão
. Mas
é um subespaço de
de dimensão
. Para garantir que
precisaríamos de
. Se
, então
é um subespaço próprio de
e nem todo
pertence à imagem. Logo não existe garantia de que para todo
o sistema seja compatível.
Portanto
garante unicidade da solução quando o sistema é compatível, mas não garante compatibilidade para todo
. A afirmativa II afirma exatamente que há solução única para todo
, o que é mais forte e, em geral, falso.
Passo 7
Damos também um contraexemplo concreto para II, reutilizando a matriz do passo anterior:
Com
(matriz
) temos
. Mas escolha
. Esse
, portanto o sistema
não tem solução alguma. Logo não existe solução única para todo
. Isso prova que II é falsa.]
Passo 8
Resumo lógico:
- I é falsa:
não implica existência de infinitas soluções quando ; pode haver solução única se . - II é falsa:
garante unicidade quando há solução, mas não garante que haja solução para todo .
Portanto ambas as afirmativas são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.