Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{b} \in \operatorname{Imagem} A e n<m então A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
II - Se Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de dimensões m\times n e pede que verifiquemos a veracidade das duas afirmações abaixo:
I - Se \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A e n<m então A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
II - Se Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
Informações relevantes dadas: a forma da matriz ( m\times n) e as condições em cada afirmativa ( \vec{b}\in\operatorname{Imagem}A, n<m, e \ker A=\{\vec{0}\}). Não há outras restrições (por exemplo, não foi dito que A é quadrada ou de posto completo).

Passo 2

Vamos lembrar definições importantes (devagar e sem pressa):
  • \operatorname{Imagem} A (ou espaço coluna de A) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como A\vec{x} para algum \vec{x}. Em símbolos:
\operatorname{Imagem} A=\{A\vec{x}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\}\subseteq\mathbb{R}^{m}.
  • Núcleo de A, escrito \ker A, é o conjunto de soluções da equação homogênea A\vec{x}=\vec{0}:
\ker A=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
Se \ker A=\{\vec{0}\} significa que a única solução do homogêneo é o vetor zero, ou seja, não há vetores não nulos que vão para zero.
Esses dois espaços estão ligados ao posto (rank) de A e à dimensão do núcleo (nullity) por um teorema que vamos usar em seguida.

Passo 3

Enunciamos o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que será útil e que uso passo a passo:
  • Definição de posto: \operatorname{rank}(A) é a dimensão de \operatorname{Imagem} A (número máximo de colunas linearmente independentes).
  • Definição de nulidade: \operatorname{nullity}(A)=\dim(\ker A).
O Teorema do posto-e-nulidade diz:
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n,
ou seja, o número de colunas n se divide entre a dimensão do espaço coluna e a dimensão do núcleo. Isso nos permite relacionar independência linear das colunas com existência/uniquidade de soluções.

Passo 4

Analisando a afirmativa I com raciocínio geral:
A afirmativa diz: se \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A (ou seja, o sistema é compatível) e n<m, então A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
Para ter infinitas soluções precisamos que o espaço de soluções da homogênea A\vec{x}=\vec{0} tenha dimensão positiva, isto é, \operatorname{nullity}(A)>0. Pelo teorema da dimensão,
\operatorname{nullity}(A)=n-\operatorname{rank}(A).
Se \operatorname{rank}(A)=n então \operatorname{nullity}(A)=0 e, quando o sistema é compatível, a solução é única; não há infinitas soluções.
Note que n<m apenas diz que há menos incógnitas que equações, mas não impede que as n colunas sejam linearmente independentes (ou seja, que \operatorname{rank}(A)=n). Logo n<m não garante \operatorname{nullity}(A)>0.

Passo 5

Para tornar isso bem concreto, vamos dar um contraexemplo simples que mostra que I é falsa.
Escolha m=2 e n=1 (logo n<m). Tome
A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
que é uma matriz 2\times1. As colunas não são nulas, logo as colunas são linearmente independentes e \ker A=\{\vec{0}\}. A imagem de A é
\operatorname{Imagem} A=\left\{ \begin{pmatrix}t\\[4pt]0\end{pmatrix}\mid t\in\mathbb{R}\right\}.
Escolha \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, que está na imagem. O sistema A x=\vec{b} (aqui x é escalar) fica
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
ou seja 1\cdot x=1, que tem a solução única x=1. Portanto há exatamente uma solução, não infinitas. Conclusão: I é falsa.]

Passo 6

Agora analisamos a afirmativa II:
II diz: Se \ker A=\{\vec{0}\} então A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
Ter \ker A=\{\vec{0}\} implica \operatorname{nullity}(A)=0 e, pelo Rank–Nullity,
\operatorname{rank}(A)=n.
Isto significa que as colunas de A são linearmente independentes e que \operatorname{Imagem} A tem dimensão n. Mas \operatorname{Imagem} A é um subespaço de \mathbb{R}^{m} de dimensão n. Para garantir que \operatorname{Imagem} A=\mathbb{R}^{m} precisaríamos de n=m. Se n<m, então \operatorname{Imagem} A é um subespaço próprio de \mathbb{R}^{m} e nem todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} pertence à imagem. Logo não existe garantia de que para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema seja compatível.
Portanto \ker A=\{\vec{0}\} garante unicidade da solução quando o sistema é compatível, mas não garante compatibilidade para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}. A afirmativa II afirma exatamente que há solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}, o que é mais forte e, em geral, falso.

Passo 7

Damos também um contraexemplo concreto para II, reutilizando a matriz do passo anterior:
Com A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (matriz 2\times1) temos \ker A=\{\vec{0}\}. Mas escolha \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Esse \vec{b}\notin\operatorname{Imagem} A, portanto o sistema A x=\vec{b} não tem solução alguma. Logo não existe solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}. Isso prova que II é falsa.]

Passo 8

Resumo lógico:
  • I é falsa: n<m não implica existência de infinitas soluções quando \vec{b}\in\operatorname{Imagem}A; pode haver solução única se \operatorname{rank}(A)=n.
  • II é falsa: \ker A=\{\vec{0}\} garante unicidade quando há solução, mas não garante que haja solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
Portanto ambas as afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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