8.19 Calcule \nabla \times[\nabla(\nabla \cdot \mathbf{G})] se \mathbf{G}=2 x^{2} y z a_{2}-20 y_{2}+ ( x^{2}-z^{2} ) \mathbf{a}_{\text {c }}

Passo 1

O enunciado pede: calcular \nabla \times [\nabla(\nabla \cdot \mathbf{G})] para um campo vetorial \mathbf{G} cuja expressão no enunciado aparece um pouco confusa. Eu interpretei os termos e vou trabalhar com a seguinte leitura do vetor (usei os dados do enunciado e converti para componentes usuais):
\mathbf{G} = \big(2 x^{2} y z\big)\,\mathbf{a}_x \;+\; \big(-20 y^{2}\big)\,\mathbf{a}_y \;+\; \big(x^{2}-z^{2}\big)\,\mathbf{a}_z.
Ou seja:
G_x = 2 x^{2} y z,\qquad G_y = -20 y^{2},\qquad G_z = x^{2}-z^{2}.
Aviso rápido: posso estar um pouco incerto sobre a notação original (o enunciado veio com símbolos um pouco embaralhados), por isso adotei a interpretação acima e procedi com ela sem pedir mais informações.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{G}. Lembrete didático: a divergência de um campo \mathbf{G}=(G_x,G_y,G_z) é
\nabla\cdot\mathbf{G}=\frac{\partial G_x}{\partial x}+\frac{\partial G_y}{\partial y}+\frac{\partial G_z}{\partial z}.
Vou derivar cada termo com cuidado.
  • Para G_x=2x^{2}yz, a derivada parcial em relação a x é:
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}yz)=2\cdot 2x\cdot y z =4 x y z.
Explicando: tratamos y e z como constantes ao derivar em relação a x; a derivada de x^2 é 2x, e o fator 2 do coeficiente dá 2\cdot 2x=4x.
  • Para G_y=-20y^{2}, a derivada parcial em relação a y é:
\frac{\partial}{\partial y}(-20y^{2})=-20\cdot 2y = -40 y.
  • Para G_z=x^{2}-z^{2}, a derivada parcial em relação a z é:
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}-z^{2}) = -2z,
pois x^2 não depende de z e a derivada de -z^2 é -2z.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{G}=4 x y z -40 y -2 z.

Passo 3

Agora calculamos o gradiente desse escalar \nabla(\nabla\cdot\mathbf{G}). Lembrete didático: o gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é
\displaystyle \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui f=\nabla\cdot\mathbf{G}=4xyz-40y-2z. Vou derivar componente a componente:
  • Componente x:
\frac{\partial}{\partial x}(4xyz-40y-2z)=4 y z
(pois só o termo 4xyz depende de x; a derivada em relação a x 4yz).
  • Componente y:
\frac{\partial}{\partial y}(4xyz-40y-2z)=4 x z -40
(pois derivando 4xyz por y 4xz, e derivando -40y -40).
  • Componente z:
\frac{\partial}{\partial z}(4xyz-40y-2z)=4 x y -2.
Portanto
\nabla(\nabla\cdot\mathbf{G}) = \big(4 y z,\; 4 x z -40,\; 4 x y -2\big).

Passo 4

Agora precisamos do rotacional (curl) desse vetor: \nabla\times\big[\nabla(\nabla\cdot\mathbf{G})\big]. Antes de calcular, uma observação conceitual importante e muito útil na prova: existe a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla \varphi)=\mathbf{0}
para qualquer função escalar \varphi suficientemente suave. Ou seja, o rotacional do gradiente de uma função é sempre o vetor nulo. A razão rápida: as componentes do rotacional são diferenças de derivadas parciais mistas que coincidem (por teorema de igualdade das derivadas parciais segundas contínuas), então as diferenças se anulam.
Para tornar isso bem concreto, eu mostro o cálculo direto usando as componentes obtidas no passo anterior. Se chamarmos
\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{G})=(F_x,F_y,F_z)=(4yz,\;4xz-40,\;4xy-2),
o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big).
Calculo cada componente:
  • Primeira componente:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(4xy-2)-\frac{\partial}{\partial z}(4xz-40) =4x-4x=0.
  • Segunda componente:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(4yz)-\frac{\partial}{\partial x}(4xy-2) =4y-4y=0.
  • Terceira componente:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(4xz-40)-\frac{\partial}{\partial y}(4yz) =4z-4z=0.
Portanto todas as componentes são zero e obtemos o vetor nulo.

Passo 5

Resumo final e motivacional: a conta bate com a identidade teórica — o rotacional do gradiente de qualquer escalar é sempre o vetor zero. Isso significa que, mesmo com funções complicadas, você pode economizar tempo na prova lembrando dessa identidade e sem precisar fazer todas as derivadas.

Resposta

\mathbf{0}

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