8.19 Calcule
se
(
)
Passo 1
O enunciado pede: calcular
para um campo vetorial
cuja expressão no enunciado aparece um pouco confusa. Eu interpretei os termos e vou trabalhar com a seguinte leitura do vetor (usei os dados do enunciado e converti para componentes usuais):
Ou seja:
Aviso rápido: posso estar um pouco incerto sobre a notação original (o enunciado veio com símbolos um pouco embaralhados), por isso adotei a interpretação acima e procedi com ela sem pedir mais informações.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular a divergência
. Lembrete didático: a divergência de um campo
é
Vou derivar cada termo com cuidado.
- Para
, a derivada parcial em relação a é:
Explicando: tratamos
e
como constantes ao derivar em relação a
; a derivada de
é
, e o fator 2 do coeficiente dá
.
- Para
, a derivada parcial em relação a é:
- Para
, a derivada parcial em relação a é:
pois
não depende de
e a derivada de
é
.
Somando,
Passo 3
Agora calculamos o gradiente desse escalar
. Lembrete didático: o gradiente de uma função escalar
é
Aqui
. Vou derivar componente a componente:
- Componente
:
(pois só o termo
depende de
; a derivada em relação a
dá
).
- Componente
:
(pois derivando
por
dá
, e derivando
dá
).
- Componente
:
Portanto
Passo 4
Agora precisamos do rotacional (curl) desse vetor:
. Antes de calcular, uma observação conceitual importante e muito útil na prova: existe a identidade vetorial
para qualquer função escalar
suficientemente suave. Ou seja, o rotacional do gradiente de uma função é sempre o vetor nulo. A razão rápida: as componentes do rotacional são diferenças de derivadas parciais mistas que coincidem (por teorema de igualdade das derivadas parciais segundas contínuas), então as diferenças se anulam.
Para tornar isso bem concreto, eu mostro o cálculo direto usando as componentes obtidas no passo anterior. Se chamarmos
o rotacional é
Calculo cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto todas as componentes são zero e obtemos o vetor nulo.
Passo 5
Resumo final e motivacional: a conta bate com a identidade teórica — o rotacional do gradiente de qualquer escalar é sempre o vetor zero. Isso significa que, mesmo com funções complicadas, você pode economizar tempo na prova lembrando dessa identidade e sem precisar fazer todas as derivadas.