1. Determine y' = f'(x), com as simplificações possíveis, sendo y = f(x) a expressão dada.
    (a) y = (4x^3 - 5x^2 + 2x + 1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente encontrar a derivada da função . A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Essa regra é super útil quando a gente tem uma função dentro de outra função, como aqui. Então, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão se encaixar na regra da cadeia. Aqui, temos uma função composta: a função externa é e a função interna é . A regra da cadeia diz que a derivada de em relação a é a derivada da função externa em relação a vezes a derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . Se , então a derivada .

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Fazendo isso termo a termo:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Lembrando que , podemos substituir de volta na expressão.

Passo 6

Substituindo na equação, temos:
Essa é a derivada simplificada da função dada.

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados