Trace o gráfico da equação polar. r = 3 sen(2 θ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa traçar o gráfico da equação polar . Isso tá ligado ao estudo de coordenadas polares, onde usamos (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo ). Pra resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas, como o seno, afetam o formato do gráfico em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral dessa equação. Ela está na forma , onde e . Esse tipo de equação gera um gráfico conhecido como “rosa polar”.

Passo 3

A função seno aqui determina a oscilação de conforme varia. O parâmetro influencia o número de pétalas da rosa. Quando é um número inteiro:
  • Se for par, o número de pétalas será .
  • Se for ímpar, o número de pétalas será .
No nosso caso, , que é par, então vamos ter pétalas.

Passo 4

O valor de determina o tamanho das pétalas. Quanto maior o , mais longas as pétalas serão. Aqui, cada pétala vai ter comprimento máximo de 3 unidades.

Passo 5

Agora, para traçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos-chave para diferentes valores de :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando : (para negativo, o ponto está no sentido oposto)
  • E assim por diante…

Passo 6

Com esses pontos, a gente vê que o gráfico terá 4 pétalas simétricas ao redor do polo (origem). Cada pétala se estende até e volta para , formando um padrão bonito e simétrico.

Resposta

O gráfico da equação polar é uma rosa com 4 pétalas igualmente distribuídas ao redor da origem, cada pétala tendo comprimento máximo de 3 unidades.

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