Trace o gráfico da equação polar.
Passo 1
Então, a gente tem que fazer o gráfico da equação polar
. Esse exercício está na área de coordenadas polares, onde a posição de um ponto é definida pela distância
ao ponto central e pelo ângulo
em relação ao eixo positivo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como trazar gráficos em coordenadas polares e identificar o tipo de curva que essa equação representa.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação
é uma forma de equação polar que representa uma limaçon. Uma limaçon pode ter diferentes formatos dependendo dos valores de
e
. No nosso caso,
e
. Como
, sabemos que teremos uma limaçon com um laço.
Passo 3
Agora, para plotar o gráfico, vamos escolher diferentes valores de
e calcular o correspondente
. Vamos começar com alguns ângulos chave, como
,
,
, e
.
Passo 4
Vamos calcular
para esses valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Quando
é negativo, isso significa que o ponto está no sentido oposto do ângulo
.
Passo 5
Com os valores calculados, vamos plotar os pontos:
-
, : ponto a 2 unidades do centro na direção de radianos. -
, : ponto a 6 unidades para cima. -
, : ponto a 2 unidades na direção oposta de radianos. -
, : isso é o mesmo que 2 unidades na direção oposta de , ou seja, na direção de , que já temos um ponto.
Passo 6
Conectando esses pontos e traçando uma curva suave, vemos que a limaçon com um laço se forma. O laço acontece porque quando
, a
torna-se negativa para certos valores de
, criando esse bolso na curva.
Passo 7
Para ter mais precisão, podemos calcular
para outros valores de
entre
e
e continuar conectando os pontos, mas os passos anteriores já nos dão uma boa ideia da forma geral da curva.
Resposta
O gráfico da equação polar
é uma limaçon com um laço, caracterizada por ter um bolso quando
.