Trace o gráfico da equação polar. r = 2 + 4 sen(theta)

Passo 1

Então, a gente tem que fazer o gráfico da equação polar . Esse exercício está na área de coordenadas polares, onde a posição de um ponto é definida pela distância ao ponto central e pelo ângulo em relação ao eixo positivo . Para resolver isso, vamos precisar entender como trazar gráficos em coordenadas polares e identificar o tipo de curva que essa equação representa.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação é uma forma de equação polar que representa uma limaçon. Uma limaçon pode ter diferentes formatos dependendo dos valores de e . No nosso caso, e . Como , sabemos que teremos uma limaçon com um laço.

Passo 3

Agora, para plotar o gráfico, vamos escolher diferentes valores de e calcular o correspondente . Vamos começar com alguns ângulos chave, como , , , e .

Passo 4

Vamos calcular para esses valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Quando é negativo, isso significa que o ponto está no sentido oposto do ângulo .

Passo 5

Com os valores calculados, vamos plotar os pontos:
  • , : ponto a 2 unidades do centro na direção de radianos.
  • , : ponto a 6 unidades para cima.
  • , : ponto a 2 unidades na direção oposta de radianos.
  • , : isso é o mesmo que 2 unidades na direção oposta de , ou seja, na direção de , que já temos um ponto.

Passo 6

Conectando esses pontos e traçando uma curva suave, vemos que a limaçon com um laço se forma. O laço acontece porque quando , a torna-se negativa para certos valores de , criando esse bolso na curva.

Passo 7

Para ter mais precisão, podemos calcular para outros valores de entre e e continuar conectando os pontos, mas os passos anteriores já nos dão uma boa ideia da forma geral da curva.

Resposta

O gráfico da equação polar é uma limaçon com um laço, caracterizada por ter um bolso quando .

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