1. Indicatriz Esférica: Seja \alpha(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco \operatorname{com} \kappa(s) \neq 0. A curva \sigma(s)=\mathbf{T}(s) é chamada de indicatriz esférica das tangentes. Calcule a curvatura da indicatriz \sigma(s) em termos de \kappa e \tau.

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por comprimento de arco \alpha(s) com curvatura \kappa(s)\neq0 e torsão \tau(s). Define-se a indicatriz esférica das tangentes por \sigma(s)=\mathbf{T}(s), onde \mathbf{T} é o versor tangente de \alpha.
O que se pede: calcular a curvatura da curva \sigma(s) (isto é, a curvatura da imagem dos vetores tangentes no espaço) em termos de \kappa e \tau.
Informações úteis fornecidas:
  • \alpha está parametrizada por comprimento de arco s (logo |\mathbf{T}|=1 e \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N}).
  • \kappa(s)\neq0 garante que \sigma tem velocidade não nula (pelo menos onde \kappa\neq0).
  • Têm-se também as fórmulas de Frenet: relações entre \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}, \kappa e \tau.

Passo 2

Lembrando as fórmulas de Frenet-Serret (valendo para curva parametrizada por comprimento de arco s):
\mathbf{T}' = \kappa\,\mathbf{N},\qquad \mathbf{N}' = -\kappa\,\mathbf{T} + \tau\,\mathbf{B},\qquad \mathbf{B}' = -\tau\,\mathbf{N}.
Aqui \kappa(s) é a curvatura (medida de quanto a curva se desvia da reta) e \tau(s) é a torsão (medida de quanto a curva se desvia do plano formado por \mathbf{T} e \mathbf{N}). Vou usar essas relações para derivar \sigma' e \sigma''.
Também uso a fórmula para a curvatura de uma curva espacial r(u) parametrizada por um parâmetro arbitrário u:
\kappa_r = \frac{ \big| r'(u)\times r''(u)\big| }{ \big|r'(u)\big|^3 }.
Essa fórmula dá a curvatura independente da reparametrização; se o parâmetro for arco s_r então |r'|=1 e a fórmula se reduz a \kappa_r=|r'\times r''|.

Passo 3

Calcular \sigma'(s). Como \sigma(s)=\mathbf{T}(s),
\sigma'(s)=\mathbf{T}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{N}(s).
Logo a velocidade de \sigma é
\big|\sigma'(s)\big|=|\kappa\,\mathbf{N}|=\kappa,
pois |\mathbf{N}|=1. A hipótese \kappa\neq0 garante \sigma'\neq0.

Passo 4

Calcular \sigma''(s) usando derivada do produto:
\sigma''(s)=(\kappa\,\mathbf{N})'=\kappa'\,\mathbf{N}+\kappa\,\mathbf{N}'.
Substituindo \mathbf{N}'=-\kappa\,\mathbf{T}+\tau\,\mathbf{B} (pela Frenet),
\sigma''(s)=\kappa'\,\mathbf{N}+\kappa\big(-\kappa\,\mathbf{T}+\tau\,\mathbf{B}\big) = -\kappa^2\,\mathbf{T} + \kappa'\,\mathbf{N} + \kappa\tau\,\mathbf{B}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da curvatura em termos do produto vetorial. Primeiro calcular o produto vetorial \sigma'(s)\times\sigma''(s). Usando \sigma'=\kappa\mathbf{N} e a expressão de \sigma'':
\sigma'\times\sigma'' = (\kappa\mathbf{N})\times\big(-\kappa^2\mathbf{T}+\kappa'\mathbf{N}+\kappa\tau\mathbf{B}\big).
Expandindo e eliminando termos nulos:
  • (\kappa\mathbf{N})\times(\kappa'\mathbf{N})=0 porque \mathbf{N}\times\mathbf{N}=0.
  • Fica
\sigma'\times\sigma'' = \kappa\mathbf{N}\times(-\kappa^2\mathbf{T}) + \kappa\mathbf{N}\times(\kappa\tau\mathbf{B}).
Calcule cada parcela: \mathbf{N}\times\mathbf{T} = -(\mathbf{T}\times\mathbf{N}) = -\mathbf{B}, e \mathbf{N}\times\mathbf{B}=\mathbf{T}. Portanto
\kappa\mathbf{N}\times(-\kappa^2\mathbf{T}) = -\kappa^3(\mathbf{N}\times\mathbf{T}) = -\kappa^3(-\mathbf{B})=\kappa^3\mathbf{B},
\kappa\mathbf{N}\times(\kappa\tau\mathbf{B}) = \kappa^2\tau(\mathbf{N}\times\mathbf{B})=\kappa^2\tau\,\mathbf{T}.
Somando,
\sigma'\times\sigma'' = \kappa^2\big(\kappa\,\mathbf{B}+\tau\,\mathbf{T}\big).

Passo 6

Calcular a norma do produto vetorial. Como \mathbf{T} e \mathbf{B} são ortonormais e mutuamente perpendiculares,
\big|\kappa\,\mathbf{B}+\tau\,\mathbf{T}\big|=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.
Então
\big|\sigma'\times\sigma''\big| = \kappa^2\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.

Passo 7

Usar a fórmula da curvatura para \sigma:
\kappa_{\sigma}=\frac{\big|\sigma'\times\sigma''\big|}{\big|\sigma'\big|^3} =\frac{\kappa^2\sqrt{\kappa^2+\tau^2}}{\kappa^3} =\frac{\sqrt{\kappa^2+\tau^2}}{\kappa}.
Podemos escrever essa expressão de forma alternativa e frequentemente vista:
\kappa_{\sigma}=\sqrt{1+\left(\frac{\tau}{\kappa}\right)^2}.
Interpretação rápida: se \tau=0 (curva plana), \kappa_{\sigma}=1, ou seja, a indicatriz das tangentes é uma curva com curvatura unitária na esfera.

Resposta

\displaystyle \kappa_{\sigma}=\frac{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}{\kappa}=\sqrt{\,1+\left(\frac{\tau}{\kappa}\right)^{2}\,}

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