Indicatriz Esférica: Seja \alpha(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco \operatorname{com} \kappa(s) \neq 0. A curva \sigma(s)=\mathbf{T}(s) é chamada de indicatriz esférica das tangentes. Calcule a curvatura da indicatriz \sigma(s) em termos de \kappa e \tau.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada por comprimento de arco \alpha(s) com curvatura \kappa(s)\neq0 e torsão \tau(s). Define-se a indicatriz esférica das tangentes por \sigma(s)=\mathbf{T}(s), onde \mathbf{T} é o versor tangente de \alpha.
O que se pede: calcular a curvatura da curva \sigma(s) (isto é, a curvatura da imagem dos vetores tangentes no espaço) em termos de \kappa e \tau.
Informações úteis fornecidas:
\alpha está parametrizada por comprimento de arco s (logo |\mathbf{T}|=1 e \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N}).
\kappa(s)\neq0 garante que \sigma tem velocidade não nula (pelo menos onde \kappa\neq0).
Têm-se também as fórmulas de Frenet: relações entre \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}, \kappa e \tau.
Passo 2
Lembrando as fórmulas de Frenet-Serret (valendo para curva parametrizada por comprimento de arco s):
Aqui \kappa(s) é a curvatura (medida de quanto a curva se desvia da reta) e \tau(s) é a torsão (medida de quanto a curva se desvia do plano formado por \mathbf{T} e \mathbf{N}). Vou usar essas relações para derivar \sigma' e \sigma''.
Também uso a fórmula para a curvatura de uma curva espacial r(u) parametrizada por um parâmetro arbitrário u:
Aplicar a fórmula da curvatura em termos do produto vetorial. Primeiro calcular o produto vetorial \sigma'(s)\times\sigma''(s). Usando \sigma'=\kappa\mathbf{N} e a expressão de \sigma'':