18- Duas partículas estão fixas em um eixo x : partícula 1 de carga q_{1}=+2,1 \times 10^{-8} \mathrm{C} em x =20 \mathrm{~cm} e partícula 2 de carga q_{2}=-4,00 q_{1} em x=60 \mathrm{~cm}. Determine a coordenada do eixo na qual o campo elétrico resultante produzido pelas partículas é igual a zero.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a coordenada x ao longo do eixo onde o campo elétrico resultante das duas cargas é igual a zero.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Carga da partícula 1: q_{1}=+2,1\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
  • Posição da partícula 1: x_{1}=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Carga da partícula 2: q_{2}=-4{,}00\,q_{1}=-8{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
  • Posição da partícula 2: x_{2}=60\\ \mathrm{cm}=0,60\\ \mathrm{m}.
O objetivo é achar x tal que o campo elétrico total \mathbf{E}_{\text{tot}}(x)=\mathbf{E}_1(x)+\mathbf{E}_2(x) seja zero.

Passo 2

Lembrete físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • O campo elétrico produzido por uma carga pontual q em um ponto a uma distância r é
\mathbf{E} = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, r é a distância entre carga e ponto, e \hat{r} é o versor apontando do centro da carga para o ponto (ou seja: o campo aponta para fora de uma carga positiva e para dentro de uma carga negativa).
  • No eixo x podemos tratar as direções com sinais: o campo é positivo quando aponta para + x e negativo quando aponta para - x.

Passo 3

Análise por regiões ao longo do eixo x (estratégia padrão):
  • Região A: x<x_{1} (à esquerda de ambas as cargas).
  • Região B: x_{1}<x<x_{2} (entre as cargas).
  • Região C: x>x_{2} (à direita de ambas).
Vamos verificar em cada região se é possível ter \mathbf{E}_{\text{tot}}=0 analisando as direções dos campos:
  • Região B (entre as cargas): para q_{1}>0 o campo em um ponto entre as cargas aponta para a direita; para q_{2}<0 o campo em um ponto entre as cargas também aponta para a direita (pois campo de carga negativa aponta em sua direção). Portanto os dois campos têm mesma direção em B e não se cancelam — não há solução entre as cargas.
  • Regiões A e C: em cada uma destas regiões os campos das duas cargas apontam em sentidos opostos, então é possível haver cancelamento. Precisamos resolver a equação correta em cada uma e verificar se a solução fica dentro da região considerada.

Passo 4

Resolver para a região A ( x<x_{1}).
Nessa região:
  • Distância até q_{1}: d_{1}=x_{1}-x>0.
  • Distância até q_{2}: d_{2}=x_{2}-x>0.
  • O campo devido a q_{1} aponta para a esquerda (negativo) e o devido a q_{2} aponta para a direita (positivo). Para cancelamento, os módulos devem ser iguais:
k\,\frac{q_{1}}{(x_{1}-x)^{2}} \;=\; k\,\frac{|q_{2}|}{(x_{2}-x)^{2}}.
Cancelando k e usando |q_{2}|=4\,q_{1} obtemos
\frac{1}{(x_{1}-x)^{2}}=\frac{4}{(x_{2}-x)^{2}}.
Como x_{1}-x>0 e x_{2}-x>0, podemos tirar raiz quadrada escolhendo a raiz positiva:
\frac{1}{x_{1}-x}=\frac{2}{x_{2}-x}.
Resolver essa equação passo a passo:
x_{2}-x = 2(x_{1}-x)
x_{2}-x = 2x_{1}-2x
x = 2x_{1}-x_{2}.
Substituindo x_{1}=0,20\\ \mathrm{m} e x_{2}=0,60\\ \mathrm{m},
x = 2\cdot0,20 - 0,60 = 0,40 - 0,60 = -0,20\\ \mathrm{m}.
Verificação de consistência: -0,20\\ \mathrm{m}<0,20\\ \mathrm{m}, logo a solução está na região A e é válida.

Passo 5

Verificar rapidamente região C ( x>x_{2}) para confirmar que não há outra solução.
Nessa região a equação de igualdade de módulos é a mesma:
\frac{1}{(x-x_{1})^{2}}=\frac{4}{(x-x_{2})^{2}},
que também leva, após seguir passos análogos, a x=2x_{1}-x_{2}=-0,20\\ \mathrm{m}. Mas -0,20\\ \mathrm{m} não satisfaz x>0,60\\ \mathrm{m}, então não há solução na região C. Portanto a única posição onde o campo resultante é zero é a encontrada em A.

Resposta

-0,20\\ \mathrm{m}
-20\\ \mathrm{cm}

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