18- Duas partículas estão fixas em um eixo
: partícula 1 de carga
em
e partícula 2 de carga
em
. Determine a coordenada do eixo na qual o campo elétrico resultante produzido pelas partículas é igual a zero.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a coordenada
ao longo do eixo onde o campo elétrico resultante das duas cargas é igual a zero.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
- Carga da partícula 1:
. - Posição da partícula 1:
. - Carga da partícula 2:
. - Posição da partícula 2:
.
O objetivo é achar
tal que o campo elétrico total
seja zero.
Passo 2
Lembrete físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):
- O campo elétrico produzido por uma carga pontual
em um ponto a uma distância é
onde
,
é a distância entre carga e ponto, e
é o versor apontando do centro da carga para o ponto (ou seja: o campo aponta para fora de uma carga positiva e para dentro de uma carga negativa).
- No eixo
podemos tratar as direções com sinais: o campo é positivo quando aponta para + e negativo quando aponta para - .
Passo 3
Análise por regiões ao longo do eixo
(estratégia padrão):
- Região A:
(à esquerda de ambas as cargas). - Região B:
(entre as cargas). - Região C:
(à direita de ambas).
Vamos verificar em cada região se é possível ter
analisando as direções dos campos:
- Região B (entre as cargas): para
o campo em um ponto entre as cargas aponta para a direita; para o campo em um ponto entre as cargas também aponta para a direita (pois campo de carga negativa aponta em sua direção). Portanto os dois campos têm mesma direção em B e não se cancelam — não há solução entre as cargas. - Regiões A e C: em cada uma destas regiões os campos das duas cargas apontam em sentidos opostos, então é possível haver cancelamento. Precisamos resolver a equação correta em cada uma e verificar se a solução fica dentro da região considerada.
Passo 4
Resolver para a região A (
).
Nessa região:
Nessa região:
- Distância até
: . - Distância até
: . - O campo devido a
aponta para a esquerda (negativo) e o devido a aponta para a direita (positivo). Para cancelamento, os módulos devem ser iguais:
Cancelando
e usando
obtemos
Como
e
, podemos tirar raiz quadrada escolhendo a raiz positiva:
Resolver essa equação passo a passo:
Substituindo
e
,
Verificação de consistência:
, logo a solução está na região A e é válida.
Passo 5
Verificar rapidamente região C (
) para confirmar que não há outra solução.
Nessa região a equação de igualdade de módulos é a mesma:
Nessa região a equação de igualdade de módulos é a mesma:
que também leva, após seguir passos análogos, a
. Mas
não satisfaz
, então não há solução na região C. Portanto a única posição onde o campo resultante é zero é a encontrada em A.