(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(i)
(ii)
(iii)
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá em cada item e o que é pedido.
(i) Dados:
-
-
- intervalo do parâmetro:
O enunciado pede:
(a) eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana;
(b) esboçar a curva resultante e indicar a direção em que ela é percorrida quando aumenta.
(a) eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana;
(b) esboçar a curva resultante e indicar a direção em que ela é percorrida quando
(ii) Dados:
O enunciado pede:
(a) eliminar o parâmetro ;
(b) esboçar a curva e indicar a direção quando aumenta.
(a) eliminar o parâmetro
(b) esboçar a curva e indicar a direção quando
(iii) Dados:
O enunciado pede:
(a) eliminar o parâmetro ;
(b) esboçar a curva e indicar a direção quando aumenta.
(a) eliminar o parâmetro
(b) esboçar a curva e indicar a direção quando
Passo 2
Conceito útil (pequena revisão): eliminar um parâmetro significa usar as relações dadas para escrever uma única equação envolvendo só
e
. Normalmente usamos identidades conhecidas (trigonométricas, logarítmicas, hiperbólicas) ou isolamos o parâmetro em uma das equações e substituímos na outra. Também é importante checar o domínio (quais valores de
aparecem) e a orientação (para que lado o ponto se move quando o parâmetro cresce).
Agora aplicamos isso item a item.
Passo 3
Item (i) — simplificação do parâmetro: é prático definir uma nova variável
. Assim
e o intervalo de
é
porque
e
.
Passo 4
Item (i) — eliminar o parâmetro usando identidade trigonométrica: como sabemos,
Substituindo
e
obtemos a equação cartesiana
Mas atenção ao domínio:
implica
, isto é
. Logo a curva é a semicircunferência superior do círculo unitário (o conjunto de pontos com
e
).
Passo 5
Item (i) — esboço e direção: pontos notáveis para checar direção:
-
dá . -
dá . -
dá .
Quando
aumenta,
aumenta, então o ponto percorre a semicircunferência superior do ponto
passando por
até
. Portanto a seta de orientação vai da esquerda para a direita ao longo da semicircunferência superior.
Passo 6
Item (ii) — eliminar o parâmetro: da segunda equação isolamos
:
Substituindo em
temos
É conveniente também escrever em forma logarítmica para ver melhor a relação:
Isolando
,
Domínio: como
para todo
, a curva existe apenas para
.
Passo 7
Item (ii) — esboço e direção: características da curva
(para
):
- É uma curva que sobe lentamente quando
cresce (forma logarítmica). - Pontos exemplos a partir de valores de
: -
. -
. -
.
-
- Comportamento nos extremos:
-
. -
.
-
Como
e
ambas aumentam quando
aumenta, o ponto no plano se move para a direita e para cima conforme
cresce. Assim a orientação é do ramo perto de
,
(início para
) em direção ao quadrante superior direito quando
.
Passo 8
Item (iii) — eliminar o parâmetro usando identidade hiperbólica: há uma identidade análoga à trigonométrica:
Substituindo
e
obtemos a equação cartesiana
Domínio:
para todo
, logo
. Portanto a parte da hipérbole que aparece é o ramo superior da hipérbole retangular
(somente com
).
Passo 9
Item (iii) — esboço e direção: para entender a orientação, calcule as derivadas:
Daí:
-
significa que é estritamente crescente com : quando aumenta o ponto vai se movendo para a direita. -
para , em , e para . Assim conforme cresce o ponto vem de com , desce até o ponto mínimo em , e depois sobe indo para quando .
Pontos exemplos:
-
(ponto no lado esquerdo, com ); -
(vértice inferior do ramo superior); -
(ponto simétrico no lado direito).
Portanto a orientação da curva é: começa no alto à esquerda (para
), desce para
em
, e sobe para cima à direita (para
) — sempre se deslocando para a direita porque
cresce com
.
Resposta
(i)
. A curva é a semicircunferência superior unitária; a orientação é do ponto
para
passando por
quando
aumenta.
(ii)
ou
. A curva é o gráfico logarítmico deslocado; a orientação é da região próxima a
em direção ao quadrante superior direito quando
aumenta.
(iii)
. A curva é o ramo superior da hipérbole
; a orientação é desde o alto à esquerda (
) descendo para
em
e subindo para o alto à direita (
) quando
aumenta.