(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(i) x=\operatorname{sen} \frac{1}{2} \theta, \quad y=\cos \frac{1}{2} \theta, \quad-\pi \leq \theta \leq \pi
(ii) x=e^{2 t}, \quad y=t+1
(iii) x=\operatorname{senh} t, \quad y=\operatorname{cosh} t

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá em cada item e o que é pedido.
(i) Dados:
  • x=\sin\frac{1}{2}\theta
  • y=\cos\frac{1}{2}\theta
  • intervalo do parâmetro: -\pi\le \theta\le \pi
O enunciado pede:
(a) eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana;
(b) esboçar a curva resultante e indicar a direção em que ela é percorrida quando \theta aumenta.
(ii) Dados:
  • x=e^{2t}
  • y=t+1
O enunciado pede:
(a) eliminar o parâmetro t;
(b) esboçar a curva e indicar a direção quando t aumenta.
(iii) Dados:
  • x=\operatorname{sinh} t
  • y=\operatorname{cosh} t
O enunciado pede:
(a) eliminar o parâmetro t;
(b) esboçar a curva e indicar a direção quando t aumenta.

Passo 2

Conceito útil (pequena revisão): eliminar um parâmetro significa usar as relações dadas para escrever uma única equação envolvendo só x e y. Normalmente usamos identidades conhecidas (trigonométricas, logarítmicas, hiperbólicas) ou isolamos o parâmetro em uma das equações e substituímos na outra. Também é importante checar o domínio (quais valores de x,y aparecem) e a orientação (para que lado o ponto se move quando o parâmetro cresce).
Agora aplicamos isso item a item.

Passo 3

Item (i) — simplificação do parâmetro: é prático definir uma nova variável \varphi=\dfrac{1}{2}\theta. Assim
x=\sin\varphi,\qquad y=\cos\varphi,
e o intervalo de \varphi é
\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],
porque \varphi=\dfrac{\theta}{2} e \theta\in[-\pi,\pi].

Passo 4

Item (i) — eliminar o parâmetro usando identidade trigonométrica: como sabemos,
\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.
Substituindo \sin\varphi=x e \cos\varphi=y obtemos a equação cartesiana
x^2+y^2=1.
Mas atenção ao domínio: \varphi\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] implica \cos\varphi\ge 0, isto é y\ge 0. Logo a curva é a semicircunferência superior do círculo unitário (o conjunto de pontos com x^2+y^2=1 e y\ge0).

Passo 5

Item (i) — esboço e direção: pontos notáveis para checar direção:
  • \theta=-\pi \varphi=-\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(-1,0).
  • \theta=0 \varphi=0\Rightarrow (x,y)=(0,1).
  • \theta=\pi \varphi=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(1,0).
Quando \theta aumenta, \varphi aumenta, então o ponto percorre a semicircunferência superior do ponto (-1,0) passando por (0,1) até (1,0). Portanto a seta de orientação vai da esquerda para a direita ao longo da semicircunferência superior.

Passo 6

Item (ii) — eliminar o parâmetro: da segunda equação isolamos t:
t=y-1.
Substituindo em x=e^{2t} temos
x=e^{2(y-1)}.
É conveniente também escrever em forma logarítmica para ver melhor a relação:
\ln x = 2(y-1).
Isolando y,
y = 1+\frac{1}{2}\ln x.
Domínio: como x=e^{2t}>0 para todo t\in\mathbb{R}, a curva existe apenas para x>0.

Passo 7

Item (ii) — esboço e direção: características da curva y=1+\tfrac{1}{2}\ln x (para x>0):
  • É uma curva que sobe lentamente quando x cresce (forma logarítmica).
  • Pontos exemplos a partir de valores de t:
    • t=0\Rightarrow (x,y)=(1,1).
    • t=1\Rightarrow (x,y)=(e^{2},2).
    • t=-1\Rightarrow (x,y)=(e^{-2},0).
  • Comportamento nos extremos:
    • t\to -\infty\Rightarrow x\to 0^+,\; y\to -\infty.
    • t\to +\infty\Rightarrow x\to +\infty,\; y\to +\infty.
Como x=e^{2t} e y=t+1 ambas aumentam quando t aumenta, o ponto no plano se move para a direita e para cima conforme t cresce. Assim a orientação é do ramo perto de x\approx0^+, y\to -\infty (início para t\to -\infty) em direção ao quadrante superior direito quando t\to+\infty.

Passo 8

Item (iii) — eliminar o parâmetro usando identidade hiperbólica: há uma identidade análoga à trigonométrica:
\operatorname{cosh}^2 t - \operatorname{sinh}^2 t = 1.
Substituindo x=\operatorname{sinh} t e y=\operatorname{cosh} t obtemos a equação cartesiana
y^2 - x^2 = 1.
Domínio: \operatorname{cosh} t\ge 1 para todo t, logo y\ge 1. Portanto a parte da hipérbole que aparece é o ramo superior da hipérbole retangular y^2-x^2=1 (somente com y\ge1).

Passo 9

Item (iii) — esboço e direção: para entender a orientação, calcule as derivadas:
\frac{dx}{dt}=\operatorname{cosh} t>0\quad\text{(sempre)}, \qquad \frac{dy}{dt}=\operatorname{sinh} t.
Daí:
  • \dfrac{dx}{dt}>0 significa que x é estritamente crescente com t: quando t aumenta o ponto vai se movendo para a direita.
  • \dfrac{dy}{dt}<0 para t<0, \dfrac{dy}{dt}=0 em t=0, e \dfrac{dy}{dt}>0 para t>0. Assim conforme t cresce o ponto vem de t\to -\infty com x\to -\infty,\; y\to+\infty, desce até o ponto mínimo (0,1) em t=0, e depois sobe indo para x\to+\infty,\; y\to+\infty quando t\to+\infty.
Pontos exemplos:
  • t=-1\Rightarrow (x,y)=(-\operatorname{sinh} 1,\operatorname{cosh} 1) (ponto no lado esquerdo, com y>1);
  • t=0\Rightarrow (x,y)=(0,1) (vértice inferior do ramo superior);
  • t=1\Rightarrow (x,y)=(\operatorname{sinh} 1,\operatorname{cosh} 1) (ponto simétrico no lado direito).
Portanto a orientação da curva é: começa no alto à esquerda (para t\to -\infty), desce para (0,1) em t=0, e sobe para cima à direita (para t\to+\infty) — sempre se deslocando para a direita porque x cresce com t.

Resposta

(i) x^2+y^2=1,\quad y\ge 0. A curva é a semicircunferência superior unitária; a orientação é do ponto (-1,0) para (1,0) passando por (0,1) quando \theta aumenta.
(ii) \ln x = 2(y-1) ou y=1+\tfrac{1}{2}\ln x,\quad x>0. A curva é o gráfico logarítmico deslocado; a orientação é da região próxima a x\to 0^+,\,y\to -\infty em direção ao quadrante superior direito quando t aumenta.
(iii) y^2-x^2=1,\quad y\ge 1. A curva é o ramo superior da hipérbole y^2-x^2=1; a orientação é desde o alto à esquerda ( t\to -\infty) descendo para (0,1) em t=0 e subindo para o alto à direita ( t\to+\infty) quando t aumenta.

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