Seja
aberto. Então, para todo
, o conjunto
é aberto. Analogamente, se
, então o conjunto
é aberto.
Passo 1
O enunciado dá que
é um conjunto aberto. Define-se, para
:
-
. -
.
O que se pede provar:
- Para todo
, o conjunto é aberto. - Para todo
com , o conjunto é aberto.
Informação relevante (definição usada frequentemente):
- Um subconjunto
é aberto se, para cada ponto , existe tal que . Vou usar exatamente essa definição nas provas.
Passo 2
Prova da abertura de
— ideia geral e escolha de um ponto qualquer. Seja
fixo e considere um ponto arbitrário
. Pelo formato do conjunto, existe
tal que
Como a prova precisa valer para qualquer
, mostramos que
é um ponto interior de
(ou seja, existe um intervalo centrado em
todo contido em
). Isso, repetido para qualquer
, implica que
é aberto.
Passo 3
Detalhamento da prova para
usando a definição de aberto. Como
é aberto e
, existe
tal que
Agora observe que somar
a cada ponto deste intervalo desloca o intervalo por
: para todo
tem-se
. Esse deslocamento dá o intervalo
Como
, o intervalo acima é
. Logo
Portanto
é ponto interior de
. Como
foi escolhido arbitrariamente em
, todos os pontos de
são interiores, logo
é aberto.
Pequena observação intuitiva: somar um número
a todos os elementos de um conjunto apenas desloca cada vizinhança; não “fecha” nem “abre” pontos novos. Por isso tradução preserva abertura.
Passo 4
Prova da abertura de
para
— ideia inicial. Seja
fixo e considere um ponto arbitrário
. Então existe
tal que
Queremos encontrar
tal que
. Novamente usaremos o fato de que
é aberto: há um intervalo em torno de
totalmente contido em
.
Passo 5
Detalhamento da prova para
com cuidado no sinal de
. Como
é aberto e
, existe
com
Multiplicando todos os pontos desse intervalo por
obtemos o conjunto
. Dependendo do sinal de
os extremos do intervalo trocam de ordem, mas podemos escrever o intervalo resultante de forma uniforme usando o valor absoluto
. De fato:
- Se
, então - Se
, então
Em ambas as situações o resultado é o intervalo
Como
, definindo
obtemos
Portanto
é ponto interior de
. Como
era arbitrário, segue que
é aberto quando
.
Passo 6
Comentário sobre o caso
e uma visão alternativa via funções contínuas/homeomorfismos. Se
e
é não vazio, então
, que normalmente não é aberto em
(exceto no caso
). Por isso a hipótese
é necessária na segunda afirmação.
Visão alternativa (mais conceitual): a função
dada por
é uma bijeção contínua com inversa
; ou seja, é um homeomorfismo, logo envia abertos em abertos. Para escala, a função
é um homeomorfismo exatamente quando
(a inversa é
), e assim também envia abertos em abertos. Essa é uma forma curta e elegante de ver as duas proposições, mas a prova por vizinhanças (epsilons) que fiz acima é mais direta e elementar.
Passo 7
Resumo final em linguagem direta e amigável: traduzir um conjunto aberto apenas desloca cada intervalo de abertura, e multiplicar por um escalar não nulo apenas reescala cada intervalo de abertura (usando
para a largura). Essas operações preservam a propriedade de ser aberto; quando o escalar é zero a situação muda e não se preserva abertura em geral.
Resposta
Para todo
,
é aberto.
Para todo com
,
é aberto.
Para todo