Seja B \subset \mathbb{R} aberto. Então, para todo x \in \mathbb{R}, o conjunto x+B= =\{x+y ; y \in B\} é aberto. Analogamente, se x \neq 0, então o conjunto x \cdot B=\{x \cdot y ; y \in B\} é aberto.

Passo 1

O enunciado dá que B \subset \mathbb{R} é um conjunto aberto. Define-se, para x\in\mathbb{R}:
  • x+B=\{x+y \mid y\in B\}.
  • x\cdot B=\{x\cdot y \mid y\in B\}.
O que se pede provar:
  1. Para todo x\in\mathbb{R}, o conjunto x+B é aberto.
  2. Para todo x\in\mathbb{R} com x\neq 0, o conjunto x\cdot B é aberto.
Informação relevante (definição usada frequentemente):
  • Um subconjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para cada ponto u\in U, existe \varepsilon>0 tal que (u-\varepsilon,u+\varepsilon)\subset U. Vou usar exatamente essa definição nas provas.

Passo 2

Prova da abertura de x+B — ideia geral e escolha de um ponto qualquer. Seja x\in\mathbb{R} fixo e considere um ponto arbitrário t\in x+B. Pelo formato do conjunto, existe y\in B tal que
t=x+y.
Como a prova precisa valer para qualquer t\in x+B, mostramos que t é um ponto interior de x+B (ou seja, existe um intervalo centrado em t todo contido em x+B). Isso, repetido para qualquer t, implica que x+B é aberto.

Passo 3

Detalhamento da prova para x+B usando a definição de aberto. Como B é aberto e y\in B, existe \varepsilon>0 tal que
(y-\varepsilon,\;y+\varepsilon)\subset B.
Agora observe que somar x a cada ponto deste intervalo desloca o intervalo por x: para todo z\in(y-\varepsilon,y+\varepsilon) tem-se x+z\in x+B. Esse deslocamento dá o intervalo
x+(y-\varepsilon,y+\varepsilon)=(x+y-\varepsilon,\;x+y+\varepsilon).
Como x+y=t, o intervalo acima é (t-\varepsilon,t+\varepsilon). Logo
(t-\varepsilon,t+\varepsilon)\subset x+B.
Portanto t é ponto interior de x+B. Como t foi escolhido arbitrariamente em x+B, todos os pontos de x+B são interiores, logo x+B é aberto.
Pequena observação intuitiva: somar um número x a todos os elementos de um conjunto apenas desloca cada vizinhança; não “fecha” nem “abre” pontos novos. Por isso tradução preserva abertura.

Passo 4

Prova da abertura de x\cdot B para x\neq 0 — ideia inicial. Seja x\neq 0 fixo e considere um ponto arbitrário s\in x\cdot B. Então existe y\in B tal que
s=x\cdot y.
Queremos encontrar \delta>0 tal que (s-\delta,s+\delta)\subset x\cdot B. Novamente usaremos o fato de que B é aberto: há um intervalo em torno de y totalmente contido em B.

Passo 5

Detalhamento da prova para x\cdot B com cuidado no sinal de x. Como B é aberto e y\in B, existe \varepsilon>0 com
(y-\varepsilon,\;y+\varepsilon)\subset B.
Multiplicando todos os pontos desse intervalo por x obtemos o conjunto x\cdot(y-\varepsilon,y+\varepsilon). Dependendo do sinal de x os extremos do intervalo trocam de ordem, mas podemos escrever o intervalo resultante de forma uniforme usando o valor absoluto |x|. De fato:
  • Se x>0, então x\cdot(y-\varepsilon,y+\varepsilon)=(xy-x\varepsilon,\;xy+x\varepsilon).
  • Se x<0, então x\cdot(y-\varepsilon,y+\varepsilon)=(xy+x\varepsilon,\;xy-x\varepsilon)=(xy-|x|\varepsilon,\;xy+|x|\varepsilon).
Em ambas as situações o resultado é o intervalo
(xy-|x|\varepsilon,\;xy+|x|\varepsilon).
Como s=xy, definindo \delta:=|x|\varepsilon>0 obtemos
(s-\delta,s+\delta)\subset x\cdot(y-\varepsilon,y+\varepsilon)\subset x\cdot B.
Portanto s é ponto interior de x\cdot B. Como s era arbitrário, segue que x\cdot B é aberto quando x\neq 0.

Passo 6

Comentário sobre o caso x=0 e uma visão alternativa via funções contínuas/homeomorfismos. Se x=0 e B é não vazio, então 0\cdot B=\{0\}, que normalmente não é aberto em \mathbb{R} (exceto no caso B=\varnothing). Por isso a hipótese x\neq 0 é necessária na segunda afirmação.
Visão alternativa (mais conceitual): a função T_x:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por T_x(y)=x+y é uma bijeção contínua com inversa T_{-x}; ou seja, é um homeomorfismo, logo envia abertos em abertos. Para escala, a função S_x(y)=x\cdot y é um homeomorfismo exatamente quando x\neq 0 (a inversa é S_{1/x}), e assim também envia abertos em abertos. Essa é uma forma curta e elegante de ver as duas proposições, mas a prova por vizinhanças (epsilons) que fiz acima é mais direta e elementar.

Passo 7

Resumo final em linguagem direta e amigável: traduzir um conjunto aberto apenas desloca cada intervalo de abertura, e multiplicar por um escalar não nulo apenas reescala cada intervalo de abertura (usando |x| para a largura). Essas operações preservam a propriedade de ser aberto; quando o escalar é zero a situação muda e não se preserva abertura em geral.

Resposta

Para todo x\in\mathbb{R}, x+B é aberto.
Para todo x\in\mathbb{R} com x\neq 0, x\cdot B é aberto.

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