Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto fornecido. y=x^{3 / 2}, \quad(1,1)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva e o ponto:
Curva: y = x^{3/2}.
Ponto dado: (1,1).
O que é pedido:
A equação da reta tangente à curva em (1,1).
A equação da reta normal à curva em (1,1).
Informações úteis que já temos do enunciado:
A coordenada x do ponto onde queremos as retas é x=1.
O valor da função em x=1 (que é a ordenada) é y(1)=1 — isto já consta no par fornecido (1,1).
Passo 2
Para achar a reta tangente precisamos do coeficiente angular (a inclinação) da tangente naquele ponto, que é a derivada da função no ponto. Vou explicar passo a passo a regra que vou usar.
Regra do poder (power rule): para uma função f(x)=x^{n} com n qualquer número real, a derivada é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
x é a variável independente.
n é o expoente (no nosso caso n=\tfrac{3}{2}).
\frac{d}{dx}x^{n} é a derivada de x^{n} em relação a x, ou seja a taxa de variação instantânea da função.
Aplicando essa regra à nossa função y=x^{3/2} (a função está bem definida para x\ge 0, e x=1 pertence ao domínio), temos:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente em (1,1) é m_{\text{tang}}=\dfrac{3}{2}.
Passo 3
Equação da reta tangente: usar a forma ponto-inclinação da reta. A forma ponto-inclinação é
y-y_0 = m (x-x_0),
onde (x_0,y_0) é o ponto dado e m é o coeficiente angular.
Substituindo (x_0,y_0)=(1,1) e m=\dfrac{3}{2},
y-1 = \frac{3}{2}\bigl(x-1\bigr).
Podemos simplificar para a forma y=mx+b. Desenvolvendo:
y-1 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 1
y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}.
Passo 4
Agora a reta normal. Definição: a reta normal à curva em um ponto é a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta tangente naquele ponto.
Se uma reta tem coeficiente angular m, então uma reta perpendicular a ela tem coeficiente angular igual ao recíproco negativo, isto é -\dfrac{1}{m}. Explicando: produto das inclinações de retas perpendiculares é -1.
Aplicando isso com m_{\text{tang}}=\dfrac{3}{2}, a inclinação da normal é