Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto fornecido.
y=x^{3 / 2}, \quad(1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva e o ponto:
  • Curva: y = x^{3/2}.
  • Ponto dado: (1,1).
O que é pedido:
  • A equação da reta tangente à curva em (1,1).
  • A equação da reta normal à curva em (1,1).
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A coordenada x do ponto onde queremos as retas é x=1.
  • O valor da função em x=1 (que é a ordenada) é y(1)=1 — isto já consta no par fornecido (1,1).

Passo 2

Para achar a reta tangente precisamos do coeficiente angular (a inclinação) da tangente naquele ponto, que é a derivada da função no ponto. Vou explicar passo a passo a regra que vou usar.
Regra do poder (power rule): para uma função f(x)=x^{n} com n qualquer número real, a derivada é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável independente.
  • n é o expoente (no nosso caso n=\tfrac{3}{2}).
  • \frac{d}{dx}x^{n} é a derivada de x^{n} em relação a x, ou seja a taxa de variação instantânea da função.
Aplicando essa regra à nossa função y=x^{3/2} (a função está bem definida para x\ge 0, e x=1 pertence ao domínio), temos:
\frac{dy}{dx}= \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2} x^{1/2}.
Outra forma de escrever x^{1/2} é \sqrt{x}, então
\frac{dy}{dx}= \frac{3}{2}\sqrt{x}.
Agora avaliamos a derivada no ponto x=1 para obter a inclinação da tangente:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1} = \frac{3}{2}\sqrt{1} = \frac{3}{2}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente em (1,1) é m_{\text{tang}}=\dfrac{3}{2}.

Passo 3

Equação da reta tangente: usar a forma ponto-inclinação da reta. A forma ponto-inclinação é
y-y_0 = m (x-x_0),
onde (x_0,y_0) é o ponto dado e m é o coeficiente angular.
Substituindo (x_0,y_0)=(1,1) e m=\dfrac{3}{2},
y-1 = \frac{3}{2}\bigl(x-1\bigr).
Podemos simplificar para a forma y=mx+b. Desenvolvendo:
y-1 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 1
y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}.

Passo 4

Agora a reta normal. Definição: a reta normal à curva em um ponto é a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta tangente naquele ponto.
Se uma reta tem coeficiente angular m, então uma reta perpendicular a ela tem coeficiente angular igual ao recíproco negativo, isto é -\dfrac{1}{m}. Explicando: produto das inclinações de retas perpendiculares é -1.
Aplicando isso com m_{\text{tang}}=\dfrac{3}{2}, a inclinação da normal é
m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tang}}} = -\frac{1}{\tfrac{3}{2}} = -\frac{2}{3}.
Usando novamente a forma ponto-inclinação com (1,1) e m=-\dfrac{2}{3},
y-1 = -\frac{2}{3}\bigl(x-1\bigr).
Simplificando para a forma y=mx+b:
y-1 = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}
y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + 1
y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}.

Passo 5

Resumo das formas finais (já obtidas e simplificadas):
  • Reta tangente em (1,1): y-1=\dfrac{3}{2}(x-1) ou y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}.
  • Reta normal em (1,1): y-1=-\dfrac{2}{3}(x-1) ou y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}.

Resposta

y-1=\dfrac{3}{2}(x-1) \Longleftrightarrow y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}
y-1=-\dfrac{2}{3}(x-1) \Longleftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}

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