18- Encontre a solução da equação abaixo usando a série de Taylor:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2x,y' - 4y = 0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando desenvolvimento em série de Taylor (série de potências) em torno de x=0.

Passo 2

Vamos supor uma solução na forma de série de potências centrada em zero:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo em y''-2x,y'-4y=0 obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -2xsumn=0^infty(n+1)an+1x^n -4sumn=0^inftyanx^n=0
O termo com x,y' pode ser reindexado como
-2xsumn=0^infty(n+1)an+1x^n =-2sumn=1^infty n,an,x^n
Agrupando potências de x^n e igualando coeficientes a zero dá, para n=0,
2cdot1,a2-4a0=0 Longrightarrow a2=2a0,
e para n>=1,
(n+2)(n+1)an+2-2n,an-4an=0 Longrightarrow an+2=2n+4(n+2)(n+1),an=2n+1,an

Passo 4

Das condições iniciais temos y(0)=a0=0 e y'(0)=a1=1. Como a0=0, todos os coeficientes pares são nulos. Para os ímpares, a recorrência
an+2=2n+1,an
com a1=1 gera
a3=22a1=1, a5=24a3=tfrac12, a7=26a5=tfrac16,;dots
Observa-se que, para k>=0,
a2k+1=1k!,
e a2k=0.

Passo 5

Substituindo esses an em y(x) resulta
y(x)=sumk=0^infty a2k+1x^2k+1 =sumk=0^infty1k!x^2k+1 =xsumk=0^infty(x^2)^kk! =x,e^x^2

Resposta

y(x)=x,e^x^2

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