18- Encontre a solução da equação abaixo usando a série de Taylor:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando desenvolvimento em série de Taylor (série de potências) em torno de
.
Passo 2
Vamos supor uma solução na forma de série de potências centrada em zero:
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
O termo com
pode ser reindexado como
Agrupando potências de
e igualando coeficientes a zero dá, para
,
e para
,
Passo 4
Das condições iniciais temos
e
. Como
, todos os coeficientes pares são nulos. Para os ímpares, a recorrência
com
gera
Observa-se que, para
,
e
.
Passo 5
Substituindo esses
em
resulta