Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
ly^prime prime+x y^prime-2 y=e^x y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + x,y' - 2,y = e^x
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando séries de potências. O conteúdo é séries de potências aplicadas a equações diferenciais, e vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
e determinar os coeficientes an pelo método de comparação de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos y, y' e y'' em série de potências:
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n,
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1 =sumn=0^infty(n+1),an+1,x^n,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2 =sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n
Também
x,y'(x)=sumn=0^inftyn,an,x^n,
e o termo não homogêneo é
e^x=sumn=0^inftyx^nn!

Passo 3

Substituindo em
y'' + x,y' - 2,y = e^x
temos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2+n,an-2,anr]x^n =sumn=0^inftyx^nn!
Logo, pelos coeficientes de x^n, obtemos a recorrência
(n+2)(n+1),an+2+(n-2),an=1n!,
ou seja
an+2 =1n!-(n-2),an(n+2)(n+1)(n>=0)

Passo 4

As condições iniciais dizem
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=0
Usando a recorrência com a0=0 e a1=0, calculamos alguns an:
Para n=0:
2cdot1,a2+(0-2)a0=1/0! implies2,a2=1 implies a2=tfrac12
Para n=1:
3cdot2,a3+(1-2)a1=1/1! implies6,a3=1 implies a3=tfrac16
Para n=2:
4cdot3,a4+(2-2)a2=1/2! implies12,a4=tfrac12 implies a4=tfrac124
Para n=3:
5cdot4,a5+(3-2)a3=1/6 implies20,a5=tfrac16-tfrac16=0 implies a5=0
Para n=4:
6cdot5,a6+(4-2)a4=1/24 implies30,a6+2cdottfrac124=tfrac124 implies30,a6=-tfrac124 implies a6=-tfrac1720
E assim por diante.

Passo 5

Reunindo os coeficientes calculados, a solução em série fica
y(x) =sumn=0^inftyan,x^n =a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+cdots
y(x) =x^22 +x^36 +x^424 +0cdot x^5 -x^6720 +x^75040 +5,x^840320 +cdots

Resposta

y(x) =x^22 +x^36 +x^424 -x^6720 +x^75040 +5,x^840320 +cdots,
onde os coeficientes an são dados pela recorrência
a0=a1=0, an+2 =tfrac1n!-(n-2),an(n+2)(n+1)

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