Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
com condições iniciais
e
, usando séries de potências. O conteúdo é séries de potências aplicadas a equações diferenciais, e vamos assumir
e determinar os coeficientes
pelo método de comparação de coeficientes.
Passo 2
Escrevemos
,
e
em série de potências:
Também
e o termo não homogêneo é
Passo 3
Substituindo em
temos
Logo, pelos coeficientes de
, obtemos a recorrência
ou seja
Passo 4
As condições iniciais dizem
Usando a recorrência com
e
, calculamos alguns
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 5
Reunindo os coeficientes calculados, a solução em série fica
Resposta
onde os coeficientes
são dados pela recorrência