[2,0 pts] Aplique o método da Transformada de Laplace para encontrar a função incógnita y(t) que satisfaz o pvi
c y^prime(t)+7 y(t) equiv e^-6 t y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + 7,y(t) = e^-6t, y(0)=2
usando o método da Transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
  • Ly'(t)(s)=sY(s)-y(0),
  • Le^-6t(s)=tfrac1s+6,
    e das propriedades de álgebra de frações e transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Chamando Y(s)=Ly(t)(s), obtemos
Ly'(t)(s) + 7,Ly(t)(s) = Le^-6t(s)
ou seja
l(sY(s)-y(0)r) + 7,Y(s) = 1s+6

Passo 3

Substituindo y(0)=2 na equação acima, temos
sY(s)-2 +7Y(s) = 1s+6 Longrightarrow (s+7),Y(s) = 1s+6 + 2
Assim,
Y(s) = 1s+6 + 2s+7 = 1(s+6)(s+7) + 2s+7

Passo 4

Fazemos frações parciais em 1(s+6)(s+7):
1(s+6)(s+7) = As+6 + Bs+7,
onde
1 = A(s+7) + B(s+6)
Tomando s=-6 1=A, e s=-7 1=-B, logo A=1 e B=-1. Portanto
1(s+6)(s+7) = 1s+6 - 1s+7,
e
Y(s) = 1s+6 - 1s+7 + 2s+7 = 1s+6 + 1s+7

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1!l1s+6r(t) = e^-6t, L^-1!l1s+7r(t) = e^-7t
Logo a solução é
y(t) = e^-6t + e^-7t

Resposta

y(t) = e^-6t + e^-7t

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