Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
l(x-3) y^prime prime+x^2 y^prime+y=0 y(0)=0, y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(x-3)y'' + x^2y' + y = 0
com condições y(0)=0 e y'(0)=6 usando o método de séries de potências em torno de x=0. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=sumn=0^infty an x^n
e determinar os coeficientes an via recorrência, aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Assumindo
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
temos as derivadas
y'(x)=sumn=0^infty (n+1),an+1,x^n, y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Substituindo em (x-3)y''+x^2y'+y=0:
o termo x,y'' é
sumn=1^infty (n+1)n,an+1,x^n,
o termo -3y'' é
-3sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n,
o termo x^2y' é
sumn=2^infty (n-1),an-1,x^n,
e y é sumn=0^infty an x^n.
Somando e igualando coeficientes de x^n a zero obtemos, para n>=0 (com a-1=0),
-3(n+2)(n+1),an+2+(n+1)n,an+1+an+(n-1),an-1=0
Dessa forma surge a recorrência
an+2 =(n+1)n,an+1+an+(n-1),an-13,(n+2)(n+1)

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=6
Logo a0=0 e a1=6.

Passo 5

Usando a recorrência e a-1=0, calculamos os primeiros coeficientes:
para n=0:
a2=a06=0
para n=1:
a3=2,a2+a118=618=13
para n=2:
a4=6,a3+a136 =2+636=29
para n=3:
a5=12,a4+a360 =tfrac83+tfrac1360 =120
para n=4:
a6=20,a5+a4+3,a390 =1+tfrac29+190 =281

Resposta

y(x) =sumn=0^infty an x^n =6x+tfrac13x^3+tfrac29x^4+tfrac120x^5+tfrac281x^6+cdots,
onde os coeficientes satisfazem
an+2 =(n+1)n,an+1+an+(n-1),an-13(n+2)(n+1),
com a0=0, a1=6.

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