Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com condições
e
usando o método de séries de potências em torno de
. Vamos assumir uma solução da forma
e determinar os coeficientes
via recorrência, aplicando as condições iniciais.
Passo 2
Assumindo
temos as derivadas
Passo 3
Substituindo em
:
o termo é
o termo
o termo
é
o termo
é
e
é
.
Somando e igualando coeficientes de a zero obtemos, para
(com
),
Somando e igualando coeficientes de
Dessa forma surge a recorrência
Passo 4
Das condições iniciais temos
Logo
e
.
Passo 5
Usando a recorrência e
, calculamos os primeiros coeficientes:
para :
para
para
:
para
:
para
:
para
:
Resposta
onde os coeficientes satisfazem
com
,
.