2.18 No escoamento de fluidos reais através de uma tubulação, a velocidade nāo é constante para elementos infinitesimais de volume que atravessam uma seçáo do tubo. No entanto, pode-se determinar uma velocidade média de fluxo (v) através de uma seçāo como sendo v=\frac{\rho r^{2}}{8 \eta}, onde r é o raio da seção, η é a viscosidade do fluido e ρ é uma grandeza que representa a variaçảo da pressão ao longo do tubo. Abaixo, vocé encontra valores de v medidos em funçáo de r, para o escoamento do sangue no corpo humano.
a) Linearize a equação, identificando as variáveis dependente e independente e os coeficientes linear e angular.
b) Utilizando o método dos mínimos quadrados, determine a equaçāo da melhor reta que representa o conjunto de pontos experimentais.
c) Faça o gráfico para a equaçáo da reta obtida no item anterior, juntamente com os pontos experimentais, em papel milimetrado.
d) Sabendo que a viscosidade do sangue, a 37^{\circ} \mathrm{C}, 64,000 \times 10^{3} \mathrm{kg} /(\mathrm{ms}), determine o valor de \rho, com sua respectiva unidade.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
(a) linearizar a equação v=\dfrac{\rho\,r^{2}}{8\eta}, identificando variável dependente, independente e coeficientes linear e angular;
(b) usar mínimos quadrados para obter a melhor reta que representa os pontos experimentais;
(c) traçar o gráfico da reta obtida junto com os pontos experimentais em papel milimetrado;
(d) usando a viscosidade do sangue dada, determinar \rho com unidade.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Valores de v na tabela: 0,33\times10^{3},\;0,77\times10^{3},\;1,28\times10^{3},\;2,10\times10^{3},\;2,92\times10^{3}.
Valores de r na tabela (coluna rotulada): 4,000,\;6,000,\;8,000,\;10,000,\;12,000 com indicação de fator na cabeça da coluna.
Observação importante sobre unidades/escala (há ambiguidade no enunciado): os expoentes aparecem confusos no texto original. Para obter resultados fisicamente plausíveis (velocidades de sangue e densidade típica do sangue), vou assumir a interpretação razoável abaixo. Se preferir outra interpretação (por ex. sinais de expoente diferentes), eu refaço os cálculos.
Assumptions (explicitei porque o enunciado tem formatação ambígua):
Interpreto os v como \,v=(0,33,\;0,77,\;1,28,\;2,10,\;2,92)\times10^{-3}\\ \text{m/s}. Ou seja, por exemplo o primeiro valor é v_1=0,33\times10^{-3}\\ \text{m/s}=3{,}3\times10^{-4}\\ \text{m/s}. (Esta escala é compatível com escoamentos sanguíneos capilares.)
Interpreto os r como r=(4{,}0,\;6{,}0,\;8{,}0,\;10{,}0,\;12{,}0)\times10^{-5}\\ \text{m}. Ou seja, por exemplo r_1=4{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}.
A viscosidade indicada no enunciado parece escrita com erro de expoente. Vou assumir a viscosidade plausível para sangue a 37^\circC: \eta = 0{,}64\times10^{-3}\\ \text{kg/(m·s)} = 6{,}4\times10^{-4}\\ \text{kg/(m·s)}. (Se a intenção do enunciado for outro valor, avise que recalculo.)
Passo 2
Linearização da equação e identificação das variáveis. A equação dada é
v=\frac{\rho\,r^{2}}{8\eta}.
Trata-se já de uma relação do tipo "variável proporcional a r^{2}". Basta definir
x = r^{2}\quad\text{(variável independente)},\qquad y = v\quad\text{(variável dependente)}.
Escrevendo em termos de x e y:
y = \underbrace{\frac{\rho}{8\eta}}_{\text{slope}}\,x + \underbrace{0}_{\text{intercept}}.
coeficiente linear (intercept): \,a=0 teoricamente (mas experimentalmente pode aparecer um pequeno intercepto devido a erros).
Explicação didática curta: linearizar significa transformar a relação em uma forma y=a+bx. Aqui v é diretamente proporcional a r^{2}, então já temos y em função de x=r^{2}; a inclinação da reta dá \rho/(8\eta). Na prova: calcule r^{2}, plote v contra r^{2}, ajuste uma reta.
Passo 3
Preparação dos dados numéricos (peguei os números da tabela e apliquei as suposições de escala do Passo 1).
Converto cada ponto em metros e metros ao quadrado e em m/s:
Para r_1=4{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}: x_1=r_1^{2}=(4{,}0\times10^{-5})^{2}=1{,}6\times10^{-9}\\ \text{m}^{2}.
Para v_1=0{,}33\times10^{-3}\\ \text{m/s}: y_1=3{,}3\times10^{-4}\\ \text{m/s}.
Para facilitar os cálculos, recapitulo os valores numéricos:
\begin{aligned} x &= \{1{,}6,\;3{,}6,\;6{,}4,\;10{,}0,\;14{,}4\}\times10^{-9}\\ \text{m}^{2},\\\ y &= \{3{,}3,\;7{,}7,\;12{,}8,\;21{,}0,\;29{,}2\}\times10^{-4}\\ \text{m/s}. \end{aligned}
Passo 4
Método dos mínimos quadrados (explicação e fórmulas).
Queremos ajustar a reta y = a + b x aos pontos (x_i,y_i). As fórmulas para os coeficientes (explicadas de forma simples) são:
onde N é o número de pontos (aqui N=5). Intuição: b mede a inclinação que minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais; a posiciona a reta.
Se a teoria garante intercepto zero, poderia usar ajuste forçado passando pela origem com b=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^{2}}; aqui vou usar o ajuste geral (com a) e depois comento a diferença.
Passo 5
Cálculo dos somatórios (mostrando passo a passo). Vou calcular \sum x_i,\\ \sum y_i,\\ \sum x_i^2,\\ \sum x_i y_i.
a = \frac{7{,}40\times10^{-3} - 7{,}3152\times10^{-3}}{5} = \frac{0{,}0848\times10^{-3}}{5} = 1{,}696\times10^{-5}\\ \text{m/s}.
Comentário: o intercepto é pequeno (ordem 10^{-5}\\ \text{m/s}) comparado aos y (ordem 10^{-3}\\ \text{m/s}), o que confirma que a teoria (intercepto nulo) faz sentido.
Se fizéssemos ajuste forçado pela origem, o slope seria ligeiramente diferente: b_{\text{orig}}=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^{2}}=\dfrac{7{,}454\times10^{-11}}{3{,}6384\times10^{-16}}=2{,}049\times10^{5} — bem próximo de 2{,}032\times10^{5}.
Passo 7
Equação final da reta (resumo numérico). Em unidades SI (com r em metros e v em \text{m/s}):
\boxed{\,v = a + b\,r^{2} = (1{,}696\times10^{-5}) + (2{,}032\times10^{5})\,r^{2}\\ }.
Onde a tem unidade \text{m/s} e b tem unidade \text{m}^{-1}\text{s}^{-1}. Esta é a equação obtida pelo método dos mínimos quadrados.
Passo 8
Como fazer o gráfico em papel milimetrado (passo-a-passo prático)
Eixo horizontal: plote x=r^{2} (em unidades \times10^{-9}\\ \text{m}^{2} é conveniente). Eixo vertical: y=v em \times10^{-3}\\ \text{m/s} (por exemplo). Escolher escalas equilibradas para que os pontos ocupem a folha (ex.: x de 0 a 16\times10^{-9}, y de 0 a 3{,}2\times10^{-3}).
Marcar os pontos usando os pares (x_i,y_i) calculados no Passo 3:
(1{,}6\times10^{-9},\;0{,}33\times10^{-3}), (3{,}6\times10^{-9},\;0{,}77\times10^{-3}), etc.
Traçar a reta usando a equação do Passo 7: para desenhar a reta na folha, calcule dois pontos da reta (por ex. para r^{2}=0 e para r^{2}=1{,}6\times10^{-8}) e una com régua. Ou plote muitos pontos calculando v da equação para várias r^{2} e una suavemente.
Rotule e inclua unidades nos eixos, e compare visualmente ajuste/erros. Em prova: faça marcações numéricas claras e desenhe a reta com régua.
Passo 9
Determinação de \rho usando \eta e a inclinação obtida.
A relação entre a inclinação teórica e \rho é
b = \frac{\rho}{8\eta}\quad\Rightarrow\quad \rho = 8\eta\,b.
Usando \eta = 0{,}64\times10^{-3}\\ \text{kg/(m·s)} = 6{,}4\times10^{-4}\\ \text{kg/(m·s)} (assunção explicada no Passo 1) e b=2{,}032\times10^{5}\\ \text{m}^{-1}\text{s}^{-1}:
Comentário final: este valor está coerente com a densidade típica do sangue (~1{,}05\times10^{3}\\ \text{kg/m}^{3}). Se você tiver outra interpretação da notação original (por exemplo expoentes diferentes nos dados ou na viscosidade), eu refaço os cálculos rapidamente.
Resposta
(a) Linearização: coloque x=r^{2} (variável independente) e y=v (variável dependente). A forma linear é \displaystyle y=\frac{\rho}{8\eta}\,x + 0. O coeficiente angular é m=\dfrac{\rho}{8\eta} e o coeficiente linear (teórico) é 0.
(b) Reta de mínimos quadrados (com r em m e v em m/s):
v = 1{,}696\times10^{-5} + 2{,}032\times10^{5}\,r^{2}.
(c) Gráfico: plote em papel milimetrado v versus r^{2} usando os pontos (1{,}6,\;3{,}3),\;(3{,}6,\;7{,}7),\;(6{,}4,\;12{,}8),\;(10{,}0,\;21{,}0),\;(14{,}4,\;29{,}2) multiplicados pelos fatores 10^{-9} (para r^{2} em m^{2}) e 10^{-4} (para v em m/s) — desenhe a reta do item (b) com régua (instruções detalhadas no passo 8).