2.18 No escoamento de fluidos reais através de uma tubulação, a velocidade nāo é constante para elementos infinitesimais de volume que atravessam uma seçáo do tubo. No entanto, pode-se determinar uma velocidade média de fluxo (v) através de uma seçāo como sendo v=\frac{\rho r^{2}}{8 \eta}, onde r é o raio da seção, η é a viscosidade do fluido e ρ é uma grandeza que representa a variaçảo da pressão ao longo do tubo. Abaixo, vocé encontra valores de v medidos em funçáo de r, para o escoamento do sangue no corpo humano.
\mathrm{v}(\mathrm{m} / \mathrm{s}) 0,33 \times 10^{3} 0,77 \times 10^{3} 1,28 \times 10^{3} 2,10 \times 10^{3} 2,92 \times 10^{3}
\mathrm{r}\left(\mathrm{x} \times 10^{5} \mathrm{~m}\right) 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000
a) Linearize a equação, identificando as variáveis dependente e independente e os coeficientes linear e angular.
b) Utilizando o método dos mínimos quadrados, determine a equaçāo da melhor reta que representa o conjunto de pontos experimentais.
c) Faça o gráfico para a equaçáo da reta obtida no item anterior, juntamente com os pontos experimentais, em papel milimetrado.
d) Sabendo que a viscosidade do sangue, a 37^{\circ} \mathrm{C}, 64,000 \times 10^{3} \mathrm{kg} /(\mathrm{ms}), determine o valor de \rho, com sua respectiva unidade.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) linearizar a equação v=\dfrac{\rho\,r^{2}}{8\eta}, identificando variável dependente, independente e coeficientes linear e angular;
  • (b) usar mínimos quadrados para obter a melhor reta que representa os pontos experimentais;
  • (c) traçar o gráfico da reta obtida junto com os pontos experimentais em papel milimetrado;
  • (d) usando a viscosidade do sangue dada, determinar \rho com unidade.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
  • Valores de v na tabela: 0,33\times10^{3},\;0,77\times10^{3},\;1,28\times10^{3},\;2,10\times10^{3},\;2,92\times10^{3}.
  • Valores de r na tabela (coluna rotulada): 4,000,\;6,000,\;8,000,\;10,000,\;12,000 com indicação de fator na cabeça da coluna.
Observação importante sobre unidades/escala (há ambiguidade no enunciado): os expoentes aparecem confusos no texto original. Para obter resultados fisicamente plausíveis (velocidades de sangue e densidade típica do sangue), vou assumir a interpretação razoável abaixo. Se preferir outra interpretação (por ex. sinais de expoente diferentes), eu refaço os cálculos.
Assumptions (explicitei porque o enunciado tem formatação ambígua):
  • Interpreto os v como \,v=(0,33,\;0,77,\;1,28,\;2,10,\;2,92)\times10^{-3}\\ \text{m/s}. Ou seja, por exemplo o primeiro valor é v_1=0,33\times10^{-3}\\ \text{m/s}=3{,}3\times10^{-4}\\ \text{m/s}. (Esta escala é compatível com escoamentos sanguíneos capilares.)
  • Interpreto os r como r=(4{,}0,\;6{,}0,\;8{,}0,\;10{,}0,\;12{,}0)\times10^{-5}\\ \text{m}. Ou seja, por exemplo r_1=4{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}.
  • A viscosidade indicada no enunciado parece escrita com erro de expoente. Vou assumir a viscosidade plausível para sangue a 37^\circC: \eta = 0{,}64\times10^{-3}\\ \text{kg/(m·s)} = 6{,}4\times10^{-4}\\ \text{kg/(m·s)}. (Se a intenção do enunciado for outro valor, avise que recalculo.)

Passo 2

Linearização da equação e identificação das variáveis. A equação dada é
v=\frac{\rho\,r^{2}}{8\eta}.
Trata-se já de uma relação do tipo "variável proporcional a r^{2}". Basta definir
x = r^{2}\quad\text{(variável independente)},\qquad y = v\quad\text{(variável dependente)}.áá
Escrevendo em termos de x e y:
y = \underbrace{\frac{\rho}{8\eta}}_{\text{slope}}\,x + \underbrace{0}_{\text{intercept}}.
Portanto:
  • variável dependente: \,y = v;
  • variável independente: \,x = r^{2};
  • coeficiente angular (slope): \,m=\dfrac{\rho}{8\eta};
  • coeficiente linear (intercept): \,a=0 teoricamente (mas experimentalmente pode aparecer um pequeno intercepto devido a erros).
Explicação didática curta: linearizar significa transformar a relação em uma forma y=a+bx. Aqui v é diretamente proporcional a r^{2}, então já temos y em função de x=r^{2}; a inclinação da reta dá \rho/(8\eta). Na prova: calcule r^{2}, plote v contra r^{2}, ajuste uma reta.

Passo 3

Preparação dos dados numéricos (peguei os números da tabela e apliquei as suposições de escala do Passo 1).
Converto cada ponto em metros e metros ao quadrado e em m/s:
  • Para r_1=4{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}: x_1=r_1^{2}=(4{,}0\times10^{-5})^{2}=1{,}6\times10^{-9}\\ \text{m}^{2}.
    Para v_1=0{,}33\times10^{-3}\\ \text{m/s}: y_1=3{,}3\times10^{-4}\\ \text{m/s}.
  • r_2=6{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}: x_2=3{,}6\times10^{-9}\\ \text{m}^{2}.
    v_2=0{,}77\times10^{-3}\\ \text{m/s}: y_2=7{,}7\times10^{-4}\\ \text{m/s}.
  • r_3=8{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}: x_3=6{,}4\times10^{-9}\\ \text{m}^{2}.
    v_3=1{,}28\times10^{-3}\\ \text{m/s}: y_3=1{,}28\times10^{-3}\\ \text{m/s}.
  • r_4=10{,}0\times10^{-5}\\ \text{m} = 1{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}: x_4=1{,}00\times10^{-8}\\ \text{m}^{2}.
    v_4=2{,}10\times10^{-3}\\ \text{m/s}: y_4=2{,}10\times10^{-3}\\ \text{m/s}.
  • r_5=12{,}0\times10^{-5}\\ \text{m} = 1{,}2\times10^{-4}\\ \text{m}: x_5=1{,}44\times10^{-8}\\ \text{m}^{2}.
    v_5=2{,}92\times10^{-3}\\ \text{m/s}: y_5=2{,}92\times10^{-3}\\ \text{m/s}.
Para facilitar os cálculos, recapitulo os valores numéricos:
\begin{aligned} x &= \{1{,}6,\;3{,}6,\;6{,}4,\;10{,}0,\;14{,}4\}\times10^{-9}\\ \text{m}^{2},\\\ y &= \{3{,}3,\;7{,}7,\;12{,}8,\;21{,}0,\;29{,}2\}\times10^{-4}\\ \text{m/s}. \end{aligned}

Passo 4

Método dos mínimos quadrados (explicação e fórmulas).
Queremos ajustar a reta y = a + b x aos pontos (x_i,y_i). As fórmulas para os coeficientes (explicadas de forma simples) são:
b=\frac{N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{N\sum x_i^{2} - \left(\sum x_i\right)^{2}},\qquad a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{N},
onde N é o número de pontos (aqui N=5). Intuição: b mede a inclinação que minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais; a posiciona a reta.
Se a teoria garante intercepto zero, poderia usar ajuste forçado passando pela origem com b=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^{2}}; aqui vou usar o ajuste geral (com a) e depois comento a diferença.

Passo 5

Cálculo dos somatórios (mostrando passo a passo). Vou calcular
\sum x_i,\\ \sum y_i,\\ \sum x_i^2,\\ \sum x_i y_i.
Usando os valores do Passo 3:
  • Soma das x_i:
\sum x_i = (1{,}6+3{,}6+6{,}4+10{,}0+14{,}4)\times10^{-9} = 36{,}0\times10^{-9} = 3{,}6\times10^{-8}\\ \text{m}^{2}.
  • Soma das y_i:
\sum y_i = (3{,}3+7{,}7+12{,}8+21{,}0+29{,}2)\times10^{-4} = 74{,}0\times10^{-4} = 7{,}40\times10^{-3}\\ \text{m/s}.
  • Soma dos x_i^{2}: calculo cada x_i^{2} (usando as mantissas antes do 10^{-9}):
\begin{aligned} (1{,}6\times10^{-9})^{2} &= 2{,}56\times10^{-18},\\\ (3{,}6\times10^{-9})^{2} &= 12{,}96\times10^{-18},\\\ (6{,}4\times10^{-9})^{2} &= 40{,}96\times10^{-18},\\\ (10{,}0\times10^{-9})^{2} &= 100{,}00\times10^{-18},\\\ (14{,}4\times10^{-9})^{2} &= 207{,}36\times10^{-18}. \end{aligned}
Somando:
\sum x_i^{2} = (2{,}56+12{,}96+40{,}96+100{,}00+207{,}36)\times10^{-18} = 363{,}84\times10^{-18} = 3{,}6384\times10^{-16}\\ \text{m}^{4}.
  • Soma dos x_i y_i: calculo cada produto x_i y_i:
\begin{aligned} x_1 y_1 &= 1{,}6\times10^{-9}\cdot3{,}3\times10^{-4} = 5{,}28\times10^{-13},\\\ x_2 y_2 &= 3{,}6\times10^{-9}\cdot7{,}7\times10^{-4} = 27{,}72\times10^{-13}=2{,}772\times10^{-12},\\\ x_3 y_3 &= 6{,}4\times10^{-9}\cdot1{,}28\times10^{-3} = 81{,}92\times10^{-13}=8{,}192\times10^{-12},\\\ x_4 y_4 &= 10{,}0\times10^{-9}\cdot2{,}10\times10^{-3} =210{,}0\times10^{-13}=2{,}10\times10^{-11},\\\ x_5 y_5 &= 14{,}4\times10^{-9}\cdot2{,}92\times10^{-3} =420{,}48\times10^{-13}=4{,}2048\times10^{-11}. \end{aligned}
Somando:
\sum x_i y_i = (0{,}528+2{,}772+8{,}192+21{,}00+42{,}048)\times10^{-12} = 74{,}54\times10^{-12} = 7{,}454\times10^{-11}\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
(Observação: mantenho unidades explícitas: x_i em \text{m}^{2}, y_i em \text{m/s}, logo x_i y_i em \text{m}^{3}/\text{s}, x_i^{2} em \text{m}^{4}.)

Passo 6

Cálculo dos coeficientes por mínimos quadrados (colocando os números nas fórmulas).
Temos N=5, \sum x_i = 3{,}6\times10^{-8}, \sum y_i = 7{,}40\times10^{-3}, \sum x_i^{2} = 3{,}6384\times10^{-16}, \sum x_i y_i = 7{,}454\times10^{-11}.
Calculo do numerador e denominador para b:
\begin{aligned} \text{num} &= N\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i) \\\ &= 5\cdot(7{,}454\times10^{-11}) - (3{,}6\times10^{-8})(7{,}40\times10^{-3})\\\ &= 3{,}727\times10^{-10} - 2{,}664\times10^{-10} = 1{,}063\times10^{-10}. \end{aligned}
\begin{aligned} \text{den} &= N\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2} \\\ &= 5\cdot(3{,}6384\times10^{-16}) - (3{,}6\times10^{-8})^{2}\\\ &= 1{,}8192\times10^{-15} - 1{,}296\times10^{-15} = 5{,}232\times10^{-16}. \end{aligned}
Logo
b = \frac{1{,}063\times10^{-10}}{5{,}232\times10^{-16}} = 2{,}032\times10^{5}\\ \text{(m}^{-1}\text{s}^{-1}\text{)}.
Interpretação de unidades: b tem unidades \dfrac{\text{m/s}}{\text{m}^{2}}=\text{m}^{-1}\text{s}^{-1}.
Agora o intercepto:
a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{N} = \frac{7{,}40\times10^{-3} - (2{,}032\times10^{5})(3{,}6\times10^{-8})}{5}.
Calculo intermediário: b\sum x_i = 2{,}032\times10^{5}\cdot3{,}6\times10^{-8} = 7{,}3152\times10^{-3}.
Portanto
a = \frac{7{,}40\times10^{-3} - 7{,}3152\times10^{-3}}{5} = \frac{0{,}0848\times10^{-3}}{5} = 1{,}696\times10^{-5}\\ \text{m/s}.
Comentário: o intercepto é pequeno (ordem 10^{-5}\\ \text{m/s}) comparado aos y (ordem 10^{-3}\\ \text{m/s}), o que confirma que a teoria (intercepto nulo) faz sentido.
Se fizéssemos ajuste forçado pela origem, o slope seria ligeiramente diferente: b_{\text{orig}}=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^{2}}=\dfrac{7{,}454\times10^{-11}}{3{,}6384\times10^{-16}}=2{,}049\times10^{5} — bem próximo de 2{,}032\times10^{5}.

Passo 7

Equação final da reta (resumo numérico). Em unidades SI (com r em metros e v em \text{m/s}):
\boxed{\,v = a + b\,r^{2} = (1{,}696\times10^{-5}) + (2{,}032\times10^{5})\,r^{2}\\ }.
Onde a tem unidade \text{m/s} e b tem unidade \text{m}^{-1}\text{s}^{-1}. Esta é a equação obtida pelo método dos mínimos quadrados.

Passo 8

Como fazer o gráfico em papel milimetrado (passo-a-passo prático)
  1. Eixo horizontal: plote x=r^{2} (em unidades \times10^{-9}\\ \text{m}^{2} é conveniente). Eixo vertical: y=v em \times10^{-3}\\ \text{m/s} (por exemplo). Escolher escalas equilibradas para que os pontos ocupem a folha (ex.: x de 0 a 16\times10^{-9}, y de 0 a 3{,}2\times10^{-3}).
  2. Marcar os pontos usando os pares (x_i,y_i) calculados no Passo 3:
    • (1{,}6\times10^{-9},\;0{,}33\times10^{-3}), (3{,}6\times10^{-9},\;0{,}77\times10^{-3}), etc.
  3. Traçar a reta usando a equação do Passo 7: para desenhar a reta na folha, calcule dois pontos da reta (por ex. para r^{2}=0 e para r^{2}=1{,}6\times10^{-8}) e una com régua. Ou plote muitos pontos calculando v da equação para várias r^{2} e una suavemente.
  4. Rotule e inclua unidades nos eixos, e compare visualmente ajuste/erros. Em prova: faça marcações numéricas claras e desenhe a reta com régua.

Passo 9

Determinação de \rho usando \eta e a inclinação obtida.
A relação entre a inclinação teórica e \rho é
b = \frac{\rho}{8\eta}\quad\Rightarrow\quad \rho = 8\eta\,b.
Usando \eta = 0{,}64\times10^{-3}\\ \text{kg/(m·s)} = 6{,}4\times10^{-4}\\ \text{kg/(m·s)} (assunção explicada no Passo 1) e b=2{,}032\times10^{5}\\ \text{m}^{-1}\text{s}^{-1}:
\rho = 8\cdot(6{,}4\times10^{-4})\cdot(2{,}032\times10^{5}).
Calcule passo a passo:
8\cdot6{,}4\times10^{-4} = 5{,}12\times10^{-3},
\rho = 5{,}12\times10^{-3}\cdot2{,}032\times10^{5} = 1{,}0409\times10^{3}\\ \text{kg/m}^{3}.
Arredondando de forma razoável:
\boxed{\rho \approx 1{,}04\times10^{3}\\ \text{kg/m}^{3}.}
Comentário final: este valor está coerente com a densidade típica do sangue (~ 1{,}05\times10^{3}\\ \text{kg/m}^{3}). Se você tiver outra interpretação da notação original (por exemplo expoentes diferentes nos dados ou na viscosidade), eu refaço os cálculos rapidamente.

Resposta

(a) Linearização: coloque x=r^{2} (variável independente) e y=v (variável dependente). A forma linear é \displaystyle y=\frac{\rho}{8\eta}\,x + 0. O coeficiente angular é m=\dfrac{\rho}{8\eta} e o coeficiente linear (teórico) é 0.
(b) Reta de mínimos quadrados (com r em m e v em m/s):
v = 1{,}696\times10^{-5} + 2{,}032\times10^{5}\,r^{2}.
(c) Gráfico: plote em papel milimetrado v versus r^{2} usando os pontos (1{,}6,\;3{,}3),\;(3{,}6,\;7{,}7),\;(6{,}4,\;12{,}8),\;(10{,}0,\;21{,}0),\;(14{,}4,\;29{,}2) multiplicados pelos fatores 10^{-9} (para r^{2} em m^{2}) e 10^{-4} (para v em m/s) — desenhe a reta do item (b) com régua (instruções detalhadas no passo 8).
(d) Usando \eta=0{,}64\times10^{-3}\\ \text{kg/(m·s)} (assunção explicada), obtém-se
\rho \approx 1{,}04\times10^{3}\\ \text{kg/m}^{3}.

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