2.13 Através de um pèndulo simples, pode-se medir a aceleração da gravldade num determinado local. O método consiste basicamente em variar o comprimento do pêndulo simples, medindo sempre o novo comprimento e o seu respectivo periodo. A equaçāo que relaciona as duas variáveis é
T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}},
onde T é o periodo, lé o comprimento do pêndulo e g é a aceleraçāo da gravidade.
Os valores a seguir foram obtidos experimentalmente.
\ell(\mathrm{m}) 1,2000 1,5000 1,8000 2,1000 2,4000
\mathrm{~T}(\mathrm{~s}) 2,200 2,458 2,694 2,910 3,111
a) Linearize a equação, indicando as variávels dependente e independente, bem como os parámetros linear e angular.
b) Calcule a equaçāo da melhor reta, traçando-a em um gráfico, juntamente com os pontos experimentais.
c) Qual o valor da aceleração da gravidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela do enunciado).
Dados experimentais (comprimento \ell em metros e período T em segundos):
\begin{array}{c|ccccc} \ell\\ (\text{m}) & 1,2000 & 1,5000 & 1,8000 & 2,1000 & 2,4000\\hline T\\ (\text{s}) & 2,200 & 2,458 & 2,694 & 2,910 & 3,111 \end{array}
O enunciado pede:
(a) linearizar a equação e indicar a variável dependente, a independente e os parâmetros linear (intercepto) e angular (coeficiente angular);
(b) calcular a equação da melhor reta e traçá-la juntamente com os pontos experimentais (vou dar a equação da reta ajustada e explicar como traçar);
(c) determinar o valor da aceleração da gravidade g.

Passo 2

Linearização da fórmula e identificação das variáveis e parâmetros.
A relação teórica é
T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.
Para linearizar, elevamos ambos os lados ao quadrado:
T^{2} = 4\pi^{2}\frac{\ell}{g}.
Reescrevendo em forma linear \,Y = m X + b:
T^{2} = \left(\frac{4\pi^{2}}{g}\right)\ell + 0.
Portanto:
  • variável independente (eixo x): \ell (comprimento do pêndulo);
  • variável dependente (eixo y): T^{2} (período ao quadrado);
  • parâmetro angular (coeficiente angular) m: \displaystyle m=\frac{4\pi^{2}}{g};
  • parâmetro linear (intercepto) b: b=0 teoricamente (mas experimentalmente pode aparecer um pequeno desvio).
Explicação didática curta: ao transformar a relação para T^{2} versus \ell obtemos uma reta passando pela origem com inclinação 4\pi^{2}/g. Na prática ajustamos uma reta por mínimos quadrados a (\ell,\;T^{2}) e obtemos uma estimativa de m e b; a partir de m calculamos g por inversão.

Passo 3

Fórmulas de regressão linear (menores quadrados) e o que significam.
Para n pontos (x_i,y_i) (aqui x_i=\ell_i, y_i=T_i^{2}) as fórmulas da reta ajustada y = m x + b são
m=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^{2} - \left(\sum x_i\right)^{2}}, \qquad b=\overline{y}-m\overline{x},
onde
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad \overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i.
Vou calcular passo a passo todos esses somatórios com os dados experimentais.

Passo 4

Cálculo de T^{2} para cada ponto e somatórios necessários (os passos numéricos são detalhados para que você consiga replicar na prova).
Calcule T^{2} ponto a ponto:
\begin{aligned} T_{1}^{2} &= (2,200)^{2} = 4,84,\\\ T_{2}^{2} &= (2,458)^{2} \approx 6,041764,\\\ T_{3}^{2} &= (2,694)^{2} \approx 7,257636,\\\ T_{4}^{2} &= (2,910)^{2} = 8,4681,\\\ T_{5}^{2} &= (3,111)^{2} \approx 9,678321. \end{aligned}
Agora os somatórios (tudo mostrado para conferir na prova):
\begin{aligned} n &= 5,\\\ \sum x_i &= \sum \ell_i = 1,2000+1,5000+1,8000+2,1000+2,4000 = 9,0,\\\ \sum y_i &= \sum T_i^{2} \approx 4,84+6,041764+7,257636+8,4681+9,678321 \approx 36,285821,\\\ \sum x_i^{2} &= 1,2000^{2}+1,5000^{2}+1,8000^{2}+2,1000^{2}+2,4000^{2} \\\ &=1,44+2,25+3,24+4,41+5,76 = 17,1,\\\ \sum x_i y_i &= \sum \ell_i T_i^{2} \\\ &\approx 1,2000\cdot4,84 + 1,5000\cdot6,041764 + 1,8000\cdot7,257636\\\ &\quad + 2,1000\cdot8,4681 + 2,4000\cdot9,678321 \\\ &\approx 5,808 + 9,062646 + 13,0637448 + 17,78301 + 23,2279704 \\\ &\approx 68,9453712. \end{aligned}
Cálculo das médias:
\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{9,0}{5}=1,8,\qquad \overline{y}=\frac{\sum y_i}{n}\approx\frac{36,285821}{5}\approx 7,2571642.

Passo 5

Cálculo do coeficiente angular m e do intercepto b usando as fórmulas.
Primeiro o numerador e denominador de m:
\begin{aligned} \text{num} &= n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i) \approx 5\cdot68,9453712 - 9,0\cdot36,285821\\\ &\approx 344,726856 - 326,572389 = 18,154467,\\\ \text{den} &= n\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2} =5\cdot17,1 - 9,0^{2} = 85,5 - 81 = 4,5. \end{aligned}
Logo
m=\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx\frac{18,154467}{4,5}\approx 4,034326.
Intercepto:
b=\overline{y}-m\overline{x}\approx 7,2571642 - 4,034326\cdot1,8 \approx -0,005623.
Portanto a reta ajustada é aproximadamente
T^{2} \approx 4,03433\,\ell - 0,00562.
Interpretação prática para o gráfico: plote os pontos experimentais (\ell_i,\;T_i^{2}) e desenhe a reta com coeficiente angular m\approx 4,03433 e intercepto b\approx -0,00562. Como o intercepto é muito pequeno (próximo de zero), a reta praticamente passa pela origem, como a teoria prevê.

Passo 6

Como traçar o gráfico (instrução prática e rápida para a prova)
  • Eixo x: coloque \ell (m), de cerca de 1,2 até 2,4.
  • Eixo y: coloque T^{2} (s^{2}), de cerca de 4,8 até 9,8.
  • Marque os pontos: (1,2000,\;4,84),\;(1,5000,\;6,041764),\;\dots e desenhe a reta y=4,03433\,x-0,00562.
  • Se preferir plotar T vs \ell, lembre-se que a relação não é linear; por isso é mais apropriado plotar T^{2} vs \ell para obter uma reta.

Passo 7

Cálculo da aceleração da gravidade g a partir da inclinação m.
Da linearização temos \displaystyle m=\frac{4\pi^{2}}{g}. Isolando g,
g=\frac{4\pi^{2}}{m}.
Substituindo m\approx 4,034326:
g \approx \frac{4\pi^{2}}{4,034326} \approx \frac{39,4784176}{4,034326}\approx 9,78563\\ \text{m/s}^{2}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos, obtemos g\approx 9,786\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 8

Resumo final e dica de prova (rápida motivação)
  • Resultado consistente: intercepto experimental muito próximo de zero (boa notícia); inclinação dá um g próximo do valor esperado.
  • Dica: em prova, sempre que aparecer T=2\pi\sqrt{\ell/g} pense em elevar ao quadrado para linearizar; ajustar T^{2} vs \ell é a maneira mais direta de extrair g.

Resposta

(a) Linearização: T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{g}\,\ell. Variável dependente: T^{2}. Variável independente: \ell. Parâmetros: coeficiente angular m=\dfrac{4\pi^{2}}{g} e intercepto b=0 (teórico).
(b) Reta da melhor ajuste (mínimos quadrados): T^{2}\approx 4,03433\,\ell - 0,00562.
(c) Aceleração da gravidade: g\approx 9,786\\ \text{m/s}^{2}.

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