2.13 Através de um pèndulo simples, pode-se medir a aceleração da gravldade num determinado local. O método consiste basicamente em variar o comprimento do pêndulo simples, medindo sempre o novo comprimento e o seu respectivo periodo. A equaçāo que relaciona as duas variáveis é
T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}},
onde T é o periodo, lé o comprimento do pêndulo e g é a aceleraçāo da gravidade.
Os valores a seguir foram obtidos experimentalmente.
\ell(\mathrm{m})
1,2000
1,5000
1,8000
2,1000
2,4000
\mathrm{~T}(\mathrm{~s})
2,200
2,458
2,694
2,910
3,111
a) Linearize a equação, indicando as variávels dependente e independente, bem como os parámetros linear e angular.
b) Calcule a equaçāo da melhor reta, traçando-a em um gráfico, juntamente com os pontos experimentais.
c) Qual o valor da aceleração da gravidade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela do enunciado).
Dados experimentais (comprimento \ell em metros e período T em segundos):
O enunciado pede:
(a) linearizar a equação e indicar a variável dependente, a independente e os parâmetros linear (intercepto) e angular (coeficiente angular);
(b) calcular a equação da melhor reta e traçá-la juntamente com os pontos experimentais (vou dar a equação da reta ajustada e explicar como traçar);
(c) determinar o valor da aceleração da gravidade g.
Passo 2
Linearização da fórmula e identificação das variáveis e parâmetros.
A relação teórica é
T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.
Para linearizar, elevamos ambos os lados ao quadrado:
T^{2} = 4\pi^{2}\frac{\ell}{g}.
Reescrevendo em forma linear \,Y = m X + b:
T^{2} = \left(\frac{4\pi^{2}}{g}\right)\ell + 0.
Portanto:
variável independente (eixo x): \ell (comprimento do pêndulo);
variável dependente (eixo y): T^{2} (período ao quadrado);
parâmetro linear (intercepto) b: b=0 teoricamente (mas experimentalmente pode aparecer um pequeno desvio).
Explicação didática curta: ao transformar a relação para T^{2} versus \ell obtemos uma reta passando pela origem com inclinação 4\pi^{2}/g. Na prática ajustamos uma reta por mínimos quadrados a (\ell,\;T^{2}) e obtemos uma estimativa de m e b; a partir de m calculamos g por inversão.
Passo 3
Fórmulas de regressão linear (menores quadrados) e o que significam.
Para n pontos (x_i,y_i) (aqui x_i=\ell_i, y_i=T_i^{2}) as fórmulas da reta ajustada y = m x + b são
Interpretação prática para o gráfico: plote os pontos experimentais (\ell_i,\;T_i^{2}) e desenhe a reta com coeficiente angular m\approx 4,03433 e intercepto b\approx -0,00562. Como o intercepto é muito pequeno (próximo de zero), a reta praticamente passa pela origem, como a teoria prevê.
Passo 6
Como traçar o gráfico (instrução prática e rápida para a prova)
Eixo x: coloque \ell (m), de cerca de 1,2 até 2,4.
Eixo y: coloque T^{2} (s^{2}), de cerca de 4,8 até 9,8.
Marque os pontos: (1,2000,\;4,84),\;(1,5000,\;6,041764),\;\dots e desenhe a reta y=4,03433\,x-0,00562.
Se preferir plotar T vs \ell, lembre-se que a relação não é linear; por isso é mais apropriado plotar T^{2} vs \ell para obter uma reta.
Passo 7
Cálculo da aceleração da gravidade g a partir da inclinação m.
Da linearização temos \displaystyle m=\frac{4\pi^{2}}{g}. Isolando g,
g=\frac{4\pi^{2}}{m}.
Substituindo m\approx 4,034326:
g \approx \frac{4\pi^{2}}{4,034326} \approx \frac{39,4784176}{4,034326}\approx 9,78563\\ \text{m/s}^{2}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos, obtemos g\approx 9,786\\ \text{m/s}^{2}.
Passo 8
Resumo final e dica de prova (rápida motivação)
Resultado consistente: intercepto experimental muito próximo de zero (boa notícia); inclinação dá um g próximo do valor esperado.
Dica: em prova, sempre que aparecer T=2\pi\sqrt{\ell/g} pense em elevar ao quadrado para linearizar; ajustar T^{2} vs \ell é a maneira mais direta de extrair g.