(3,4 pontos) Numa máquina de Carnot, o ciclo termodinâmico é percorrido no sentido horário. O calor retirado da fonte quente vale 42,1 \mathrm{~kJ} e o calor que ela perde para a fonte fria vale 22,1 \mathrm{~kJ}.
a) Qual o trabalho líquido que a máquina consegue fazer?
b) Qual a eficiência da máquina?
c) Se a temperatura da fonte fria é 0,00^{\circ} \mathrm{C}, qual a temperatura da fonte quente?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as respostas abaixo.
Dados fornecidos:
  • Calor retirado da fonte quente (absorvido pelo motor): Q_{h}=42{,}1\\ \mathrm{kJ}.
  • Calor entregue à fonte fria (rejeitado pelo motor): Q_{c}=22{,}1\\ \mathrm{kJ}.
  • O ciclo é percorrido no sentido horário (logo é uma máquina térmica que realiza trabalho líquido positivo).
Perguntas do enunciado:
a) Qual o trabalho líquido que a máquina consegue fazer?
b) Qual a eficiência da máquina?
c) Se a temperatura da fonte fria é 0{,}00^\circ\mathrm{C}, qual a temperatura da fonte quente?

Passo 2

Entendendo o que é pedido em (a): usar a conservação de energia (primeira lei da termodinâmica) para um ciclo. Para um ciclo completo, a variação de energia interna é zero, então a soma algébrica dos calores recebidos e do trabalho dá zero. Na prática, para uma máquina térmica que absorve Q_{h} e rejeita Q_{c}, o trabalho líquido realizado pelo ciclo é a diferença entre o calor recebido e o calor rejeitado. Em fórmula:
W = Q_{h} - Q_{c}.
Aqui W é o trabalho líquido entregue pelo motor por ciclo, Q_{h} é o calor absorvido da fonte quente e Q_{c} é o calor cedido à fonte fria.

Passo 3

Cálculo do trabalho usando os números do enunciado. Substituindo na fórmula:
W = 42{,}1\\ \mathrm{kJ} - 22{,}1\\ \mathrm{kJ} = 20{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Explicando de forma intuitiva: a máquina recebe 42{,}1\\ \mathrm{kJ} da fonte quente, devolve 22{,}1\\ \mathrm{kJ} à fria; a diferença vira trabalho útil.

Passo 4

Agora (b): eficiência de uma máquina térmica. Definição prática que se usa em prova:
\eta = \frac{W}{Q_{h}},
onde \eta é a eficiência (fração do calor absorvido que é convertido em trabalho). Também se pode usar a relação alternativa \eta = 1 - \dfrac{Q_{c}}{Q_{h}} (é equivalente, porque W=Q_{h}-Q_{c}).
Vou calcular numericamente. Primeiro usando W/Q_{h}:
\eta = \frac{20{,}0\\ \mathrm{kJ}}{42{,}1\\ \mathrm{kJ}}.
Dividindo:
\eta \approx 0{,}475\quad\text{(fração)}.çã
Convertendo para porcentagem:
\eta \approx 47{,}5\%.
Dica prática para prova: calcular W primeiro costuma ser mais direto; depois dividir por Q_h dá a eficiência.

Passo 5

Para (c) usamos a propriedade especial de uma máquina de Carnot (reversível): a eficiência também é dada por temperaturas das fontes (em escala absoluta, Kelvin):
\eta = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}},
onde T_{c} é a temperatura da fonte fria e T_{h} a da fonte quente, ambas em Kelvin. Reorganizando para achar T_{h}:
\frac{T_{c}}{T_{h}} = 1 - \eta \quad\Rightarrow\quad T_{h} = \frac{T_{c}}{1-\eta}.
Observação importante: as temperaturas no fator de Carnot têm de estar em Kelvin. O enunciado deu T_{c}=0{,}00^\circ\mathrm{C}. Converter para Kelvin:
T_{c} = 0{,}00^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos na fórmula para T_{h}. Vou usar a forma exata equivalente \dfrac{T_{c}Q_{h}}{Q_{c}} que vem de T_{c}/T_{h}=Q_{c}/Q_{h} (válida para máquina de Carnot), assim evita arredondamento intermediário:
T_{h} = T_{c}\,\frac{Q_{h}}{Q_{c}}.
Substituindo:
T_{h} = 273{,}15\\ \mathrm{K}\times\frac{42{,}1}{22{,}1}.
Calculemos a razão:
\frac{42{,}1}{22{,}1}\approx 1{,}904\dots
Multiplicando:
T_{h}\approx 273{,}15\times 1{,}904\approx 520{,}3\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius (se pedirem em °C):
T_{h}({}^\circ\mathrm{C}) = T_{h}(\mathrm{K}) - 273{,}15 \approx 520{,}3 - 273{,}15 = 247{,}2^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) W = 20{,}0\\ \mathrm{kJ}
b) \eta = 0{,}475 \approx 47{,}5\%
c) T_{h} \approx 520{,}3\\ \mathrm{K} \approx 247{,}2^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados