2.28 Estudos de radiobiologia indicam que a populaçāo P de um certo microrganismo diminul exponencialmente após ser exposta a uma certa dose de radiaçáo ionizante, dada pela relação \mathbf{P}(\mathbf{t})=\mathrm{P}_{0} \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{t}}, sendo \mathrm{P}_{0} a população inicial, a a taxa horária de mortalidade e t o tempo em horas. A tabela a
seguir mostra a variaçảo da populaçảo em função do tempo após uma dada exposição de ralos X .
\mathbf{t} (horas) 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00
\mathbf{P}\left(\mathbf{x} 10^{3}\right. individuos ) 36,88 13,47 4,98 1,83 0,67
a) Linearize a equação dada, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.
b) Construa o gráflco da população em funçõo do tempo, em papel monolog (semilog).
c) Determine, a partir do gráfico, os valores de \mathrm{P}_{\mathrm{o}} e \alpha, com as suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado dá uma lei exponencial para a população após exposição: \,P(t)=P_{0}e^{-\alpha t}\,, onde P_{0} é a população inicial, \alpha é a taxa horária de mortalidade (em \text{h}^{-1}) e t é o tempo em horas. A tabela fornecida (peguei os números da tabela do enunciado) é:
  • t (horas): 2,\;4,\;6,\;8,\;10.
  • P (em \times 10^{3} indivíduos): 36{,}88,\;13{,}47,\;4{,}98,\;1{,}83,\;0{,}67.
O enunciado pede:
a) Linearizar a equação e identificar variável dependente/independente e coeficientes angular e linear.
b) Construir o gráfico da população em função do tempo em papel semilog (i.e., eixo vertical com escala logarítmica).
c) Determinar, a partir do gráfico, P_{0} e \alpha com unidades e algarismos significativos apropriados.

Passo 2

Como linearizar a equação exponencial: aplicar logaritmo natural em ambos os lados transforma exponencial em reta. Faço a transformação e explico cada símbolo:
P(t)=P_{0}e^{-\alpha t}
aplicando \ln:
\ln P(t)=\ln\bigl(P_{0}e^{-\alpha t}\bigr)=\ln P_{0}+\ln\bigl(e^{-\alpha t}\bigr)=\ln P_{0}-\alpha t.
Interpretação (muito importante para a prova):
  • Variável independente: t (horas).
  • Variável dependente (após linearização): y=\ln P.
  • Relação linear obtida: \,y=\ln P=\underbrace{\ln P_{0}}_{\text{intercepto}}+\underbrace{(-\alpha)}_{\text{inclinação}}\,t.çã
  • Coeficiente linear (intercepto) é \ln P_{0}.
  • Coeficiente angular (slope) é m=-\alpha. Então, a inclinação da reta no gráfico \ln P versus t é negativa e seu valor absoluto é exatamente \alpha.
Breve justificativa prática: em papel semilog (eixo vertical logarítmico) os pontos (t,P) caem sobre uma reta; alternativamente pode-se plotar t no eixo horizontal e \ln P no vertical em papel normal.

Passo 3

Preparar os dados que vamos plotar/usar: primeiro converto os P da tabela em número de indivíduos (a tabela deu P em unidades de 10^{3} indivíduos, então multiplico por 10^{3}) e calculo \ln P (logaritmo natural). Peguei os números diretamente da tabela.
Tabela transformada e \ln P:
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\text{h}) & P\\ (\text{indivíduos}) & \ln P \\\ \hline 2 & 36{,}88\times10^{3}=36880 & \ln(36880)=10{,}515976 \\\\ 4 & 13{,}47\times10^{3}=13470 & \ln(13470)=9{,}508968 \\\\ 6 & 4{,}98\times10^{3}=4980 & \ln(4980)=8{,}513141 \\\\ 8 & 1{,}83\times10^{3}=1830 & \ln(1830)=7{,}511943 \\\\ 10& 0{,}67\times10^{3}=670 & \ln(670)=6{,}507278 \end{array}
Observação de método: na prova, se usar papel semilog você pode evitar calcular \ln numericamente e apenas marcar P no eixo logarítmico; mas para obter os parâmetros com precisão é comum linearizar e aplicar ajuste linear (menores quadrados) em \ln P versus t.

Passo 4

Ajuste linear por mínimos quadrados (método direto que corresponde a traçar a reta “melhor” no gráfico semilog). Vou usar as fórmulas padrão para reta y=m t + b, com y=\ln P, m sendo a inclinação e b=\ln P_{0} o intercepto.
Dados a repetir (apenas para clareza):
t: 2,\;4,\;6,\;8,\;10;\qquad y=\ln P: 10{,}515976,\;9{,}508968,\;8{,}513141,\;7{,}511943,\;6{,}507278.
Calculo somas necessárias (mostrando cada passo):
n=5,
\sum t = 2+4+6+8+10=30,
\sum y = 10{,}515976+9{,}508968+8{,}513141+7{,}511943+6{,}507278=42{,}557306,
\sum t^2 = 2^2+4^2+6^2+8^2+10^2=220,
\sum t y = 2\cdot10{,}515976+4\cdot9{,}508968+6\cdot8{,}513141+8\cdot7{,}511943+10\cdot6{,}507278=235{,}314994.
Fórmula para a inclinação m:
m=\frac{n\sum(t y)-(\sum t)(\sum y)}{n\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}.
Substituindo e calculando:
m=\frac{5\cdot235{,}314994-30\cdot42{,}557306}{5\cdot220-30^{2}}=\frac{1176{,}57497-1276{,}71918}{1100-900}=\frac{-100{,}14421}{200}=-0{,}500721.
Portanto a inclinação da reta é m\approx-0{,}500721\\ \text{h}^{-1}.
O intercepto b é dado por
b=\bar{y}-m\bar{t},
onde \bar{t}=\dfrac{\sum t}{n}=6 e \bar{y}=\dfrac{\sum y}{n}=8{,}511461. Assim
b=8{,}511461-(-0{,}500721)\cdot6=8{,}511461+3{,}004326=11{,}515787.
Lembrando a interpretação: b=\ln P_{0} e m=-\alpha. Então:
\ln P_{0}=11{,}515787\quad\Rightarrow\quad P_{0}=e^{11{,}515787}\approx100287\\ \text{indivíduos},í
\alpha=-m\approx0{,}500721\\ \text{h}^{-1}.
Observação prática: o valor de P_{0} está próximo de 1,00\times10^{5} indivíduos (100 mil), e \alpha é aproximadamente 0{,}50 por hora — ou seja, metade da população morre por unidade de tempo em termos da constante de decaimento exponencial (não confundir com “metade da população por hora”, esse seria outro conceito).

Passo 5

Como escolho o número adequado de algarismos significativos? Os dados originais da tabela têm tipicamente 3 ou 4 algarismos (por ex. 36{,}88, 13{,}47 — quatro dígitos significativos em notação com vírgula). Em ajustes, geralmente apresenta-se os parâmetros com 3 algarismos significativos para não dar falso excesso de precisão.
Assim, com 3 algarismos significativos:
  • P_{0}\approx 1,00\times10^{5} indivíduos (ou 100{,}0\times10^{3} indivíduos, escrevendo em milhares se preferir).
  • \alpha\approx 0{,}501\\ \text{h}^{-1}.
Instrução de como obter esses resultados “a partir do gráfico em papel semilog” (resumida para a prova):
  • Traçar t no eixo horizontal (escala linear) e P no eixo vertical com escala logarítmica (ou traçar \ln P vs t com escalas lineares).
  • Marcar os pontos correspondentes aos dados.
  • Traçar a reta que melhor passa pelos pontos (regressão visual ou régua no semilog). A ordenada no eixo vertical quando t=0 (intercepto) dá P_{0} (se estiver usando escala log, anotar o valor real de P_{0} lendo o eixo log e convertendo de volta); a inclinação da reta no gráfico semilog corresponde a -\alpha em escala natural. Se tiver régua, determinar tangente em dois pontos bem separados para estimar a inclinação e daí calcular \alpha.
  • Se quiser precisão numérica, linearizar e aplicar mínimos quadrados como fiz acima.

Resposta

P_{0}=1{,}00\times10^{5}\\ \text{indivíduos}í
\alpha=0{,}501\\ \text{h}^{-1}

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