18- (a) Expanda f(z)=\sin z em uma série de Taylor sobre z=\pi / 4 (b) Determine a região de convergência desta série.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Expandir f(z)=\sin z numa série de Taylor centrada em z=\pi/4.
  2. Determinar a região (ou raio) de convergência dessa série.
Informações dadas e que vamos usar: a função é f(z)=\sin z e o ponto de expansão é a=\pi/4. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que define a série de Taylor de uma função f em torno de um ponto a. A série é
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(z-a)^n,
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a. Aqui a=\pi/4. Nosso trabalho é calcular f^{(n)}(a) para todo n (ou achar uma fórmula para eles) e então colocar na soma acima. Vou explicar cada passo devagar para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Primeiro, observe o comportamento das derivadas de \sin z. As derivadas se repetem em ciclo de período 4:
\begin{aligned} f(z)&=\sin z,\\\ f'(z)&=\cos z,\\\ f''(z)&=-\sin z,\\\ f^{(3)}(z)&=-\cos z,\\\ f^{(4)}(z)&=\sin z, \end{aligned}
e assim por diante. Uma maneira compacta de escrever isso é
f^{(n)}(z)=\sin\!\left(z+\frac{n\pi}{2}\right),
porque derivar n vezes desloca o argumento por n\pi/2 (isso vem das identidades trigonométricas e do ciclo das derivadas).

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto a=\pi/4. Usando a fórmula do passo anterior,
f^{(n)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\right).
Vamos ver os valores para os restos módulo 4. Para n com n\equiv 0\pmod 4 e n\equiv 1\pmod 4 obtemos \sin de ângulos onde o valor é +\dfrac{\sqrt{2}}{2}; para n\equiv 2\pmod 4 e n\equiv 3\pmod 4 obtemos -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Ou seja os valores seguem o padrão
f^{(n)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot r_n,
onde r_n é a sequência periódica 1,1,-1,-1,1,1,\dots. Uma forma conveniente de indexar é separar em pares usando n=2k e n=2k+1. Para k=0,1,2,\dots temos
\begin{aligned} f^{(2k)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^k,\\[4pt] f^{(2k+1)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^k. \end{aligned}
Note que tanto para índices pares quanto ímpares a dependência em k é a mesma: um fator ( -1)^k multiplicando \dfrac{\sqrt{2}}{2}.]

Passo 5

Agora substituímos esses coeficientes na fórmula da série de Taylor. Escrevendo a soma separando termos 2k e 2k+1,
\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(\pi/4)}{n!}(z-\pi/4)^n =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k)}(\pi/4)}{(2k)!}(z-\pi/4)^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k+1)}(\pi/4)}{(2k+1)!}(z-\pi/4)^{2k+1}.
Usando as expressões do passo anterior para f^{(2k)} e f^{(2k+1)}, obtemos
\sin z=\frac{\sqrt{2}}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\left[\frac{(z-\pi/4)^{2k}}{(2k)!}+\frac{(z-\pi/4)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right].
Essa é uma forma clara e prática da série centrada em z=\pi/4.

Passo 6

Para visualizar melhor, vamos escrever os primeiros termos (pegando k=0,1):
\begin{aligned} k=0&:\quad \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\frac{(z-\pi/4)^0}{0!}+\frac{(z-\pi/4)^1}{1!}\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(1+(z-\pi/4)\bigr),\\[4pt] k=1&:\quad \frac{\sqrt{2}}{2}(-1)\left[\frac{(z-\pi/4)^2}{2!}+\frac{(z-\pi/4)^3}{3!}\right]=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\frac{(z-\pi/4)^2}{2}+\frac{(z-\pi/4)^3}{6}\right]. \end{aligned}
Somando esses dois e os demais termos obtemos a série completa do passo anterior. Essas parcelas iniciais ajudam a conferir o padrão e a usar truncamentos na prova se for pedido aproximar.]

Passo 7

Falta a região de convergência. Há duas formas de justificar rapidamente que a série converge para todo z:
  1. Teorema geral: a função \sin z é inteira (isto é, não tem singularidades complexas finitas), portanto a série de Taylor centrada em qualquer ponto converge com raio de convergência R=\infty. Logo converge para todo z\in\mathbb{C}.
  2. Uma verificação por comportamento dos coeficientes: os coeficientes da série são a_n=\dfrac{f^{(n)}(\pi/4)}{n!}. Como |f^{(n)}(\pi/4)|\leq 1 (na verdade |f^{(n)}(\pi/4)|=\sqrt{2}/2), temos |a_n|\le C/n! com C=\sqrt{2}/2. Sabemos que séries com coeficientes que decrescem como 1/n! têm raio de convergência infinito (pelo teste da raiz ou razão). Portanto R=\infty.
Ambas as justificativas chegam à mesma conclusão: a série converge para todo z.

Resposta

\displaystyle \sin z=\frac{\sqrt{2}}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\left[\frac{(z-\pi/4)^{2k}}{(2k)!}+\frac{(z-\pi/4)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right]\n
Raio de convergência: R=\infty (a série converge para todo z\in\mathbb{C}).

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