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(a) Find the intervals on which
is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of
.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
10.
(a) Find the intervals on which
(b) Find the local maximum and minimum values of
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
10.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Em quais intervalos
é crescente ou decrescente. - (b) Os valores locais máximos e mínimos de
. - (c) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações importantes fornecidas: a expressão explícita de
(um polinômio cúbico). Não há restrições no domínio, então o domínio é todo
.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada primeira
, porque ela nos diz onde a função cresce ou decresce e nos dá os pontos críticos.
Explicação rápida da regra usada: para um termo do tipo
, a derivada é
(isso se chama regra da potência). Aplicando termo a termo:
É conveniente fatorar para achar as raízes:
Agora fatoramos o polinômio quadrático
. Procure dois números que multiplicam para
e somam
; aqui dá para fatorar como
. Logo:
As raízes (pontos críticos) são as soluções de
, isto é:
Passo 3
Agora vamos usar o sinal de
para determinar onde a função é crescente ou decrescente. Ideia: em intervalos entre as raízes de
o sinal de
é constante; se
a função cresce, se
a função decresce.
As raízes ordenadas são
,
,
,
. Testamos um valor em cada intervalo:
-
Para
, escolha : Logoem ⇒ é crescente ali. -
Para
, escolha : Logoem ⇒ é decrescente ali. -
Para
, escolha : Logoem ⇒ é crescente ali.
Conclusão dos intervalos:
- crescente em
e em ; - decrescente em
.
Passo 4
Com base no sinal de
em torno dos pontos críticos, aplicamos o teste da derivada primeira para identificar máximos e mínimos locais:
-
Em
: à esquerda de temos (crescente) e à direita temos (decrescente). Então sobe até e depois desce ⇒ é ponto de máximo local. -
Em
: à esquerda temos (decrescente) e à direita (crescente). Então desce até e depois sobe ⇒ é ponto de mínimo local.
Agora calculamos os valores de
nesses pontos (faça contas passo a passo na prova):
Calcular
:
Calcular
:
Portanto:
- máximo local em
com valor . - mínimo local em
com valor .
Passo 5
Agora tratamos da concavidade e pontos de inflexão usando a derivada segunda
. A derivada segunda nos diz se a curva está “virada para cima” (concavidade para cima) ou “virada para baixo” (concavidade para baixo). Regra: se
a função é côncava para cima; se
é côncava para baixo. Pontos onde
podem ser pontos de inflexão (quando a concavidade muda de sinal).
Calculemos
(derivando
):
Colocando em fator comum:
Resolva
para possíveis pontos de inflexão:
Testamos o sinal de
nos dois lados de
:
-
Para
, por exemplo : logo concavidade para baixo em. -
Para
, por exemplo : logo concavidade para cima em.
Como o sinal de
muda de negativo para positivo em
, existe um ponto de inflexão aí.
Passo 6
Vamos calcular a coordenada
do ponto de inflexão:
.
Calcule passo a passo:
Avalie cada termo:
Someos tudo em décimos-sextos para facilitar:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Resposta
(a)
é crescente em
e em
;
é decrescente em
.
(b) máximo local em com valor
; mínimo local em
com valor
.
(c) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
; ponto de inflexão em
.
(b) máximo local em
(c)