9-18
(a) Find the intervals on which f is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of f.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
10. f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-6 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=4x^{3}+3x^{2}-6x+1\, e pede três coisas:
  1. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente.
  2. (b) Os valores locais máximos e mínimos de f.
  3. (c) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações importantes fornecidas: a expressão explícita de \,f(x)\, (um polinômio cúbico). Não há restrições no domínio, então o domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada primeira \,f'(x)\,, porque ela nos diz onde a função cresce ou decresce e nos dá os pontos críticos.
Explicação rápida da regra usada: para um termo do tipo \,ax^{n}\,, a derivada é \,a n x^{n-1}\, (isso se chama regra da potência). Aplicando termo a termo:
f(x)=4x^{3}+3x^{2}-6x+1
f'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3})+\frac{d}{dx}(3x^{2})-\frac{d}{dx}(6x)+\frac{d}{dx}(1)
f'(x)=4\cdot 3 x^{2} + 3\cdot 2 x -6 + 0
f'(x)=12x^{2}+6x-6.
É conveniente fatorar para achar as raízes:
f'(x)=6(2x^{2}+x-1).
Agora fatoramos o polinômio quadrático 2x^{2}+x-1. Procure dois números que multiplicam para 2\cdot(-1)=-2 e somam 1; aqui dá para fatorar como (2x-1)(x+1). Logo:
f'(x)=6(2x-1)(x+1).
As raízes (pontos críticos) são as soluções de \,f'(x)=0, isto é:
2x-1=0\implies x=\tfrac{1}{2},\qquad x+1=0\implies x=-1.

Passo 3

Agora vamos usar o sinal de \,f'(x)\, para determinar onde a função é crescente ou decrescente. Ideia: em intervalos entre as raízes de f' o sinal de f' é constante; se f'>0 a função cresce, se f'<0 a função decresce.
As raízes ordenadas são \,-\infty, -1, \tfrac{1}{2}, +\infty. Testamos um valor em cada intervalo:
  • Para x<-1, escolha x=-2:
    f'(-2)=6(2(-2)-1)((-2)+1)=6(-5)(-1)=30>0.
    Logo f'>0 em (-\infty,-1) f é crescente ali.
  • Para -1<x<\tfrac{1}{2}, escolha x=0:
    f'(0)=6(2\cdot 0-1)(0+1)=6(-1)(1)=-6<0.
    Logo f'<0 em (-1,\tfrac{1}{2}) f é decrescente ali.
  • Para x>\tfrac{1}{2}, escolha x=1:
    f'(1)=6(2\cdot 1-1)(1+1)=6(1)(2)=12>0.
    Logo f'>0 em (\tfrac{1}{2},\infty) f é crescente ali.
Conclusão dos intervalos:
  • crescente em (-\infty,-1) e em (\tfrac{1}{2},\infty);
  • decrescente em (-1,\tfrac{1}{2}).

Passo 4

Com base no sinal de f' em torno dos pontos críticos, aplicamos o teste da derivada primeira para identificar máximos e mínimos locais:
  • Em x=-1: à esquerda de -1 temos f'>0 (crescente) e à direita temos f'<0 (decrescente). Então f sobe até x=-1 e depois desce ⇒ x=-1 é ponto de máximo local.
  • Em x=\tfrac{1}{2}: à esquerda temos f'<0 (decrescente) e à direita f'>0 (crescente). Então f desce até x=\tfrac{1}{2} e depois sobe ⇒ x=\tfrac{1}{2} é ponto de mínimo local.
Agora calculamos os valores de f nesses pontos (faça contas passo a passo na prova):
Calcular \,f(-1)\,:
f(-1)=4(-1)^{3}+3(-1)^{2}-6(-1)+1
f(-1)=4(-1)+3(1)+6+1=-4+3+6+1=6.
Calcular \,f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\,:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-6\left(\tfrac{1}{2}\right)+1
=4\cdot \tfrac{1}{8} + 3\cdot \tfrac{1}{4} -3 +1
=\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{4} -3 +1
=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}-2
=\tfrac{2}{4}+\tfrac{3}{4}-\tfrac{8}{4}=\tfrac{5-8}{4}=-\tfrac{3}{4}.
Portanto:
  • máximo local em \,x=-1\, com valor \,f(-1)=6.
  • mínimo local em \,x=\tfrac{1}{2}\, com valor \,f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{3}{4}.

Passo 5

Agora tratamos da concavidade e pontos de inflexão usando a derivada segunda \,f''(x)\,. A derivada segunda nos diz se a curva está “virada para cima” (concavidade para cima) ou “virada para baixo” (concavidade para baixo). Regra: se f''(x)>0 a função é côncava para cima; se f''(x)<0 é côncava para baixo. Pontos onde f''(x)=0 podem ser pontos de inflexão (quando a concavidade muda de sinal).
Calculemos \,f''(x)\, (derivando f'(x)=12x^{2}+6x-6):
f''(x)=24x+6.
Colocando em fator comum:
f''(x)=6(4x+1).
Resolva f''(x)=0 para possíveis pontos de inflexão:
6(4x+1)=0 \implies 4x+1=0 \implies x=-\tfrac{1}{4}.
Testamos o sinal de f'' nos dois lados de x=-\tfrac{1}{4}:
  • Para x<-\tfrac{1}{4}, por exemplo x=-1:
    f''(-1)=24(-1)+6=-24+6=-18<0,
    logo concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{4}).
  • Para x>-\tfrac{1}{4}, por exemplo x=0:
    f''(0)=6>0,
    logo concavidade para cima em (-\tfrac{1}{4},\infty).
Como o sinal de f'' muda de negativo para positivo em x=-\tfrac{1}{4}, existe um ponto de inflexão aí.

Passo 6

Vamos calcular a coordenada y do ponto de inflexão: f\!\left(-\tfrac{1}{4}\right).
Calcule passo a passo:
f\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=4\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{3}+3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}-6\left(-\tfrac{1}{4}\right)+1.
Avalie cada termo:
\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{3}=-\tfrac{1}{64},\quad 4\cdot\left(-\tfrac{1}{64}\right)=-\tfrac{4}{64}=-\tfrac{1}{16}.
\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16},\quad 3\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{3}{16}.
-6\left(-\tfrac{1}{4}\right)=+\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}=\tfrac{24}{16}.
1=\tfrac{16}{16}.
Someos tudo em décimos-sextos para facilitar:
-\tfrac{1}{16}+\tfrac{3}{16}+\tfrac{24}{16}+\tfrac{16}{16}=\tfrac{-1+3+24+16}{16}=\tfrac{42}{16}=\tfrac{21}{8}.
Portanto o ponto de inflexão é \left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{21}{8}\right).

Resposta

(a) f é crescente em (-\infty,-1) e em (\tfrac{1}{2},\infty); f é decrescente em (-1,\tfrac{1}{2}).
(b) máximo local em x=-1 com valor f(-1)=6; mínimo local em x=\tfrac{1}{2} com valor f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{3}{4}.
(c) f é côncava para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{4}) e côncava para cima em (-\tfrac{1}{4},\infty); ponto de inflexão em \left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{21}{8}\right).

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