9-18
(a) Find the intervals on which f is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of f.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
18. f(x)=\sqrt{x} e^{-x}

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Encontrar os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
  • (b) Determinar os valores locais de máximo e mínimo de f.
  • (c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas:
f(x)=\sqrt{x}\,e^{-x}.
Domínio: como aparece \sqrt{x}, temos x\ge 0.
Lembrete importante (que vamos usar): pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe; mudanças de sinal de f' indicam máximos/minimos locais. Para concavidade usamos f''(x): se f''>0 é côncava para cima; se f''<0 é côncava para baixo; pontos onde f'' muda de sinal e f é suficientemente regular são pontos de inflexão.

Passo 2

Derivação passo a passo (relembrando regras usadas):
  • Produto: se u(x)v(x), então (uv)'=u'v+uv'.
  • \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando produto com u(x)=x^{1/2} e v(x)=e^{-x}:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}e^{-x}+x^{1/2}(-e^{-x}).
Agora fatoramos e^{-x}x^{-1/2} (note que, para x>0, e^{-x}>0 e x^{-1/2}>0):
f'(x)=e^{-x}x^{-1/2}\Big(\tfrac{1}{2}-x\Big).

Passo 3

Análise do sinal de f' e pontos críticos:
  • Para x>0, os fatores e^{-x} e x^{-1/2} são positivos, logo o sinal de f'(x) é o mesmo do fator \tfrac{1}{2}-x.
  • Assim f'(x)>0 quando \tfrac{1}{2}-x>0, isto é, para 0<x<\tfrac{1}{2}.
  • E f'(x)<0 quando \tfrac{1}{2}-x<0, isto é, para x>\tfrac{1}{2}.
  • Em x=\tfrac{1}{2} temos f'(\tfrac{1}{2})=0 (ponto crítico).
  • Em x=0 a expressão fatorada usa x^{-1/2}, então f' não está definida em 0. Contudo, observando \lim_{x\to0^+}f'(x)=+\infty (porque x^{-1/2} diverge e o parêntese tende a \tfrac12>0), concluímos que a derivada à direita é positiva muito grande: a função cresce imediatamente à direita de 0.
Portanto, em termos de monotonicidade:
  • f é crescente em (0,\tfrac{1}{2}).
  • f é decrescente em (\tfrac{1}{2},\infty).
    (Observação: como f(0)=0 e para pequenos x>0 temos f(x)>0, x=0 é um mínimo no bordo do domínio.)

Passo 4

Determinação de máximos e mínimos locais (usando o teste da primeira derivada e confirmando com a segunda derivada depois):
  • Em x=\tfrac{1}{2} a derivada muda de positiva para negativa, logo x=\tfrac{1}{2} é um ponto de máximo local. O valor de f aí é
f\!\Big(\tfrac{1}{2}\Big)=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\,e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}.
  • Em x=0 a função atinge f(0)=0 e, como a função é positiva para x>0, x=0 é um mínimo (na verdade mínimo global no domínio). Não há outros pontos críticos interiores além de x=\tfrac12.

Passo 5

Agora vamos calcular a segunda derivada para testar concavidade e localizar pontos de inflexão. Partimos de
f'(x)=e^{-x}x^{-1/2}\Big(\tfrac{1}{2}-x\Big).
Trabalhamos por partes: defina g(x)=e^{-x}x^{-1/2} e h(x)=\tfrac12-x. Então f'=gh e
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}x^{-1/2}\big)= -e^{-x}x^{-1/2}+e^{-x}\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)x^{-3/2} = -e^{-x}x^{-3/2}(x+\tfrac{1}{2}).
Como h'(x)=-1, pela regra do produto
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) = -e^{-x}x^{-3/2}(x+\tfrac{1}{2})\Big(\tfrac{1}{2}-x\Big) - e^{-x}x^{-1/2}.
Fatorando e^{-x}x^{-3/2} e simplificando o que está entre colchetes, obtemos
f''(x)=e^{-x}x^{-3/2}\Big(x^{2}-x-\tfrac{1}{4}\Big).

Passo 6

Análise da sinal de f'' (concavidade):
  • O fator e^{-x}x^{-3/2} é positivo para x>0, logo o sinal de f''(x) para x>0 é o sinal do polinômio quadrático
q(x)=x^{2}-x-\tfrac{1}{4}.
  • As raízes de q são dadas pela fórmula quadrática:
x=\frac{1\pm\sqrt{1+1}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}.
Uma raiz é negativa ( \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}<0), a outra é positiva:
r=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\approx 1{,}2071.
  • Como q(0)=-\tfrac{1}{4}<0, q(x)<0 para 0<x<r e q(x)>0 para x>r.
Conclusão sobre concavidade:
  • f''(x)<0 em (0,r), então f é côncava para baixo em (0,\tfrac{1+\sqrt{2}}{2}).
  • f''(x)>0 em (r,\infty), então f é côncava para cima em (\tfrac{1+\sqrt{2}}{2},\infty).
  • Em x=0 a segunda derivada não existe (diverge), mas a concavidade imediatamente à direita de 0 é para baixo (pois f'' tende a -\infty ao aproximar-se de 0^+).

Passo 7

Ponto de inflexão:
  • Há mudança de concavidade em x=r=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}, que pertence ao domínio ( r>0). Logo existe um ponto de inflexão em x=r.
  • A coordenada y do ponto de inflexão é
f(r)=\sqrt{r}\,e^{-r},\qquad r=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.

Resposta

(a) Crescente em (0,\tfrac{1}{2}). Decrescente em (\tfrac{1}{2},\infty).
(b) Máximo local (e global) em x=\tfrac{1}{2} com valor f\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2}. Mínimo em x=0 com valor f(0)=0.
(c) Côncava para baixo em \big(0,\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\big) e côncava para cima em \big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2},\infty\big). Ponto de inflexão em x=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2} com y=f\!\Big(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\Big)=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}\,e^{-(1+\sqrt{2})/2}.

Exercícios relacionados