9-18
(a) Find the intervals on which
is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of
.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
18.
(a) Find the intervals on which
(b) Find the local maximum and minimum values of
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
18.
Passo 1
O que o problema pede:
- (a) Encontrar os intervalos em que
é crescente ou decrescente. - (b) Determinar os valores locais de máximo e mínimo de
. - (c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas:
Domínio: como aparece
, temos
.
Lembrete importante (que vamos usar): pontos críticos são pontos do domínio onde ou onde
não existe; mudanças de sinal de
indicam máximos/minimos locais. Para concavidade usamos
: se
é côncava para cima; se
é côncava para baixo; pontos onde
muda de sinal e
é suficientemente regular são pontos de inflexão.
Lembrete importante (que vamos usar): pontos críticos são pontos do domínio onde
Passo 2
Derivação passo a passo (relembrando regras usadas):
- Produto: se
, então . -
. -
.
Aplicando produto com
e
:
Agora fatoramos
(note que, para
,
e
):
Passo 3
Análise do sinal de
e pontos críticos:
- Para
, os fatores e são positivos, logo o sinal de é o mesmo do fator . - Assim
quando , isto é, para . - E
quando , isto é, para . - Em
temos (ponto crítico). - Em
a expressão fatorada usa , então não está definida em . Contudo, observando (porque diverge e o parêntese tende a ), concluímos que a derivada à direita é positiva muito grande: a função cresce imediatamente à direita de .
Portanto, em termos de monotonicidade:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
(Observação: comoe para pequenos temos , é um mínimo no bordo do domínio.)
Passo 4
Determinação de máximos e mínimos locais (usando o teste da primeira derivada e confirmando com a segunda derivada depois):
- Em
a derivada muda de positiva para negativa, logo é um ponto de máximo local. O valor de aí é
- Em
a função atinge e, como a função é positiva para , é um mínimo (na verdade mínimo global no domínio). Não há outros pontos críticos interiores além de .
Passo 5
Agora vamos calcular a segunda derivada para testar concavidade e localizar pontos de inflexão. Partimos de
Trabalhamos por partes: defina
e
. Então
e
Como
, pela regra do produto
Fatorando
e simplificando o que está entre colchetes, obtemos
Passo 6
Análise da sinal de
(concavidade):
- O fator
é positivo para , logo o sinal de para é o sinal do polinômio quadrático
- As raízes de
são dadas pela fórmula quadrática:
Uma raiz é negativa (
), a outra é positiva:
- Como
, para e para .
Conclusão sobre concavidade:
-
em , então é côncava para baixo em . -
em , então é côncava para cima em . - Em
a segunda derivada não existe (diverge), mas a concavidade imediatamente à direita de é para baixo (pois tende a ao aproximar-se de ).
Passo 7
Ponto de inflexão:
- Há mudança de concavidade em
, que pertence ao domínio ( ). Logo existe um ponto de inflexão em . - A coordenada
do ponto de inflexão é
Resposta
(a) Crescente em
. Decrescente em
.
(b) Máximo local (e global) em com valor
. Mínimo em
com valor
.
(c) Côncava para baixo em e côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
com
.
(b) Máximo local (e global) em
(c) Côncava para baixo em