19-21 Find the local maximum and minimum values of
using both the First and Second Derivative Tests. Which method do you prefer?
20.
20.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Encontrar os valores locais máximo e mínimo de
usando o Teste da Primeira Derivada e o Teste da Segunda Derivada. - Dizer qual método eu prefiro.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todo
porque para todo . - Precisamos encontrar pontos críticos (pontos onde
ou onde não existe) e então classificar esses pontos como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois, usando os dois testes solicitados.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a primeira derivada
. Vou usar a regra do quociente (ou, equivalentemente, derivar escrevendo
e usar a regra do produto). A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo
e verificando onde
é indefinida.
-
quando o numerador , ou seja
-
é indefinida quando o denominador , mas isso nunca ocorre porque para todo .
Logo os pontos críticos são
e
. Em cada um vamos determinar se é máximo, mínimo ou nenhum.
Passo 4
Teste da Primeira Derivada (intuição e procedimento): o teste observa o sinal de
antes e depois do ponto crítico. Se
muda de negativo para positivo em um ponto, temos um mínimo local; se muda de positivo para negativo, temos um máximo local. Para usar isso, analisamos o sinal de
em intervalos determinados pelos pontos críticos.
Reescrevemos a primeira derivada para ver o sinal:
O denominador
é sempre positivo. Portanto o sinal de
é o mesmo que o sinal de
.
- Para
, temos . - Para
, temos .
Assim o sinal de
nos intervalos é:
-
: (função decrescente). -
: (função crescente). -
: (função decrescente).
Passo 5
Concluindo pelo Teste da Primeira Derivada:
- Em
o sinal de vai de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), ou seja decrescente → crescente. Isso indica um mínimo local em . - Em
o sinal de vai de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), ou seja crescente → decrescente. Isso indica um máximo local em .
Agora calculamos os valores da função nesses pontos (os valores locais).
Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada: máximo local em
com valor
; mínimo local em
com valor
.
Passo 6
Agora aplicamos o Teste da Segunda Derivada para confirmar e praticar. Lembre-se do enunciado do Teste da Segunda Derivada: se
e
então
tem um mínimo local em
; se
então
tem um máximo local em
. Se
o teste é inconclusivo.
Vamos calcular
. Partimos de
Derivando usando a regra do produto:
Calculamos as partes:
Substituindo:
Fatorando
fica mais simples:
Calculamos o parêntese:
Logo:
Ou equivalentemente
Passo 7
Agora avaliamos
nos pontos críticos
e
.
Para
:
Como
, pelo Teste da Segunda Derivada
tem um máximo local em
. O valor já calculado é
.
Para
:
Como
, pelo Teste da Segunda Derivada
tem um mínimo local em
. O valor é
.
Os resultados do Teste da Segunda Derivada confirmam os obtidos pelo Teste da Primeira Derivada.
Passo 8
Comentário sobre os métodos e preferência:
- O Teste da Primeira Derivada é muito direto: basta encontrar sinais de
nos intervalos e observar mudanças. É ótimo quando tem fatoração simples que facilita a análise de sinais (como foi o caso aqui, porque reduziu a um polinômio sobre quantidades sempre positivas). - O Teste da Segunda Derivada exige calcular
, o que pode ser mais trabalho algébrico; porém fornece uma conclusão rápida avaliando em cada ponto crítico quando não é zero. - Para esta função eu prefiro o Teste da Primeira Derivada em provas rápidas, porque a análise de sinal do numerador
foi imediata e evita derivadas mais longas. Mas uso o Teste da Segunda Derivada como confirmação se necessário.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Mínimo local em com valor
.
Preferência: prefiro o Teste da Primeira Derivada para este caso (análise de sinais foi mais rápida).
Mínimo local em
Preferência: prefiro o Teste da Primeira Derivada para este caso (análise de sinais foi mais rápida).