19-21 Find the local maximum and minimum values of f using both the First and Second Derivative Tests. Which method do you prefer?
20. f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+4} e pede:
  • Encontrar os valores locais máximo e mínimo de f usando o Teste da Primeira Derivada e o Teste da Segunda Derivada.
  • Dizer qual método eu prefiro.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+4>0 para todo x.
  • Precisamos encontrar pontos críticos (pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe) e então classificar esses pontos como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois, usando os dois testes solicitados.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a primeira derivada f'(x). Vou usar a regra do quociente (ou, equivalentemente, derivar escrevendo f(x)=x(x^{2}+4)^{-1} e usar a regra do produto). A regra do quociente diz que, para \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x^{2}+4. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\frac{1\cdot(x^{2}+4)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{x^{2}+4-2x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verificando onde f' é indefinida.
  • f'(x)=0 quando o numerador 4-x^{2}=0, ou seja
4-x^{2}=0 \implies x^{2}=4 \implies x=\pm 2.
  • f' é indefinida quando o denominador (x^{2}+4)^{2}=0, mas isso nunca ocorre porque x^{2}+4>0 para todo x.
Logo os pontos críticos são x=-2 e x=2. Em cada um vamos determinar se é máximo, mínimo ou nenhum.

Passo 4

Teste da Primeira Derivada (intuição e procedimento): o teste observa o sinal de f'(x) antes e depois do ponto crítico. Se f' muda de negativo para positivo em um ponto, temos um mínimo local; se muda de positivo para negativo, temos um máximo local. Para usar isso, analisamos o sinal de f'(x) em intervalos determinados pelos pontos críticos.
Reescrevemos a primeira derivada para ver o sinal:
f'(x)=\frac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.
O denominador (x^{2}+4)^{2} é sempre positivo. Portanto o sinal de f'(x) é o mesmo que o sinal de 4-x^{2}.
  • Para |x|<2, temos x^{2}<4\Rightarrow 4-x^{2}>0\Rightarrow f'(x)>0.
  • Para |x|>2, temos x^{2}>4\Rightarrow 4-x^{2}<0\Rightarrow f'(x)<0.
Assim o sinal de f' nos intervalos é:
  • x<-2: f'(x)<0 (função decrescente).
  • -2<x<2: f'(x)>0 (função crescente).
  • x>2: f'(x)<0 (função decrescente).

Passo 5

Concluindo pelo Teste da Primeira Derivada:
  • Em x=-2 o sinal de f' vai de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), ou seja decrescente → crescente. Isso indica um mínimo local em x=-2.
  • Em x=2 o sinal de f' vai de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), ou seja crescente → decrescente. Isso indica um máximo local em x=2.
Agora calculamos os valores da função nesses pontos (os valores locais).
f(2)=\frac{2}{2^{2}+4}=\frac{2}{4+4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
f(-2)=\frac{-2}{(-2)^{2}+4}=\frac{-2}{4+4}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}.
Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada: máximo local em x=2 com valor f(2)=\tfrac{1}{4}; mínimo local em x=-2 com valor f(-2)=-\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Agora aplicamos o Teste da Segunda Derivada para confirmar e praticar. Lembre-se do enunciado do Teste da Segunda Derivada: se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}>0 então f tem um mínimo local em c; se f''\text{(c)}<0 então f tem um máximo local em c. Se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular f''(x). Partimos de
f'(x)=(4-x^{2})(x^{2}+4)^{-2}.
Derivando usando a regra do produto:
f''(x)=\frac{d}{dx}[4-x^{2}]\cdot (x^{2}+4)^{-2} + (4-x^{2})\cdot\frac{d}{dx}\big((x^{2}+4)^{-2}\big).
Calculamos as partes:
\frac{d}{dx}[4-x^{2}]=-2x,
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+4)^{-2}\big)=-2(x^{2}+4)^{-3}\cdot(2x)=-4x(x^{2}+4)^{-3}.
Substituindo:
f''(x)=-2x(x^{2}+4)^{-2} + (4-x^{2})\big(-4x(x^{2}+4)^{-3}\big).
Fatorando -2x(x^{2}+4)^{-3} fica mais simples:
f''(x)=-2x(x^{2}+4)^{-3}\big((x^{2}+4)+2(4-x^{2})\big).
Calculamos o parêntese:
(x^{2}+4)+2(4-x^{2})=x^{2}+4+8-2x^{2}=12-x^{2}.
Logo:
f''(x)=-2x\frac{12-x^{2}}{(x^{2}+4)^{3}}.
Ou equivalentemente
f''(x)=\frac{-2x(12-x^{2})}{(x^{2}+4)^{3}}.

Passo 7

Agora avaliamos f'' nos pontos críticos x=-2 e x=2.
Para x=2:
f''(2)=\frac{-2\cdot 2\,(12-2^{2})}{(2^{2}+4)^{3}}=\frac{-4(12-4)}{(4+4)^{3}}=\frac{-4\cdot 8}{8^{3}}=\frac{-32}{512}=-\frac{1}{16}<0.
Como f''(2)<0, pelo Teste da Segunda Derivada f tem um máximo local em x=2. O valor já calculado é f(2)=\tfrac{1}{4}.
Para x=-2:
f''(-2)=\frac{-2\cdot(-2)\,(12-(-2)^{2})}{((-2)^{2}+4)^{3}}=\frac{4(12-4)}{8^{3}}=\frac{32}{512}=\frac{1}{16}>0.
Como f''(-2)>0, pelo Teste da Segunda Derivada f tem um mínimo local em x=-2. O valor é f(-2)=-\tfrac{1}{4}.
Os resultados do Teste da Segunda Derivada confirmam os obtidos pelo Teste da Primeira Derivada.

Passo 8

Comentário sobre os métodos e preferência:
  • O Teste da Primeira Derivada é muito direto: basta encontrar sinais de f' nos intervalos e observar mudanças. É ótimo quando f' tem fatoração simples que facilita a análise de sinais (como foi o caso aqui, porque f'(x) reduziu a um polinômio sobre quantidades sempre positivas).
  • O Teste da Segunda Derivada exige calcular f'', o que pode ser mais trabalho algébrico; porém fornece uma conclusão rápida avaliando f''\text{(c)} em cada ponto crítico quando não é zero.
  • Para esta função eu prefiro o Teste da Primeira Derivada em provas rápidas, porque a análise de sinal do numerador 4-x^{2} foi imediata e evita derivadas mais longas. Mas uso o Teste da Segunda Derivada como confirmação se necessário.

Resposta

Máximo local em x=2 com valor f(2)=\tfrac{1}{4}.
Mínimo local em x=-2 com valor f(-2)=-\tfrac{1}{4}.
Preferência: prefiro o Teste da Primeira Derivada para este caso (análise de sinais foi mais rápida).

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