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(a) Find the intervals on which f is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of f.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
17. f(x)=(\ln x) / \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f:
  • (a) Encontrar os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
  • (b) Encontrar os valores locais máximos e mínimos de f.
  • (c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}.
  • O domínio natural desta função é x>0 (pois \ln x exige x>0 e \sqrt{x} também).
  • Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Vamos achar a derivada primeira f'(x) para estudar crescimento/decrescimento e extremos locais.
Dica rápida sobre derivação que vou usar (passo a passo): se eu escrevo f(x)=u(x)\,v(x), então a regra do produto diz que
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui é conveniente reescrever f como produto:
f(x)=\ln x \cdot x^{-1/2}.
Defino u(x)=\ln x e v(x)=x^{-1/2}. Então
u'(x)=\frac{1}{x},\qquad v'(x)=-\frac{1}{2}x^{-3/2}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=\frac{1}{x}\,x^{-1/2} + \ln x\left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right).
Agora simplifico os termos passo a passo:
\frac{1}{x}\,x^{-1/2}=x^{-3/2},
e
\ln x\left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right)=-\frac{1}{2}\ln x\,x^{-3/2}.
Somando:
f'(x)=x^{-3/2}\left(1-\frac{1}{2}\ln x\right).
Colocando em forma de fração mais limpa:
f'(x)=\frac{2-\ln x}{2x^{3/2}}.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos e determinamos os intervalos de crescimento/decrescimento.
Pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe (mas lembrando que domínio é x>0).
Igualando a derivada a zero:
\frac{2-\ln x}{2x^{3/2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2-\ln x=0.
Logo
\ln x=2 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{2}.
Esse é o único ponto crítico no domínio x>0.
Para estudar o sinal de f'(x) note que 2x^{3/2}>0 para todo x>0, então o sinal de f'(x) vem do numerador 2-\ln x.
  • Se \ln x<2 (ou seja x<e^{2}) então 2-\ln x>0 e f'(x)>0.
  • Se \ln x>2 (ou seja x>e^{2}) então 2-\ln x<0 e f'(x)<0.
Conclusão sobre monotonicidade:
  • f é crescente em (0,e^{2}).
  • f é decrescente em (e^{2},\infty).

Passo 4

Determinar extremos locais a partir da mudança de sinal de f'.
Vimos que f' passa de positivo (à esquerda de e^{2}) para negativo (à direita de e^{2}). Isso indica que em x=e^{2} a função possui um máximo local.
Calculamos o valor de f nesse ponto:
f(e^{2})=\frac{\ln(e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}=\frac{2}{e}.
Não há pontos onde f' muda de negativo para positivo, portanto não há mínimos locais no domínio.

Passo 5

Agora vamos à concavidade: precisamos da derivada segunda f''(x).
Parto da forma já simplificada de f':
f'(x)=\frac{1}{2}(2-\ln x)\,x^{-3/2}.
Vou usar a regra do produto outra vez. Tome
g(x)=2-\ln x,\qquad h(x)=x^{-3/2}.
Então g'(x)=-\dfrac{1}{x} e h'(x)=-\dfrac{3}{2}x^{-5/2}.
Aplicando a derivada (lembrando do fator \tfrac{1}{2}):
f''(x)=\frac{1}{2}\Big(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\Big).
Substituindo:
f''(x)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{x}x^{-3/2} + (2-\ln x)\left(-\frac{3}{2}x^{-5/2}\right)\right).
Simplifico o primeiro termo:
-\frac{1}{x}x^{-3/2}=-x^{-5/2}.
Logo
f''(x)=\frac{1}{2}\left(-x^{-5/2}-\frac{3}{2}(2-\ln x)x^{-5/2}\right).
Coloco o fator comum x^{-5/2}:
f''(x)=x^{-5/2}\left(\frac{1}{2}\left(-1-\frac{3}{2}(2-\ln x)\right)\right).
Faço a álgebra dentro do parêntese:
-1-\frac{3}{2}(2-\ln x)=-1-3+\frac{3}{2}\ln x = -4 + \frac{3}{2}\ln x.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} exterior:
\frac{1}{2}\left(-4+\frac{3}{2}\ln x\right)=-2+\frac{3}{4}\ln x.
Portanto
f''(x)=x^{-5/2}\left(\frac{3}{4}\ln x -2\right).
Escrevendo em forma de fração mais limpa:
f''(x)=\frac{3\ln x -8}{4x^{5/2}}.

Passo 6

Determinar intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Como 4x^{5/2}>0 para x>0, o sinal de f''(x) depende apenas do numerador 3\ln x-8.
Zerando f'':
3\ln x-8=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x=\frac{8}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=e^{8/3}.
  • Para x<e^{8/3} temos \ln x<\tfrac{8}{3}, então 3\ln x-8<0 e f''(x)<0: a função é côncava para baixo em (0,e^{8/3}).
  • Para x>e^{8/3} temos \ln x>\tfrac{8}{3}, então 3\ln x-8>0 e f''(x)>0: a função é côncava para cima em (e^{8/3},\infty).
Como a concavidade muda de para baixo para cima ao atravessar x=e^{8/3}, esse x é ponto de inflexão. Calculamos o valor da função nesse ponto:
f\big(e^{8/3}\big)=\frac{\ln\big(e^{8/3}\big)}{\sqrt{e^{8/3}}}=\frac{8/3}{e^{4/3}}=\frac{8}{3e^{4/3}}.

Resposta

(a) f é crescente em (0,e^{2}) e decrescente em (e^{2},\infty).
(b) máximo local em x=e^{2} com valor f(e^{2})=\dfrac{2}{e}; não há mínimo local.
(c) f é côncava para baixo em (0,e^{8/3}) e côncava para cima em (e^{8/3},\infty); ponto de inflexão em \big(e^{8/3},\,\dfrac{8}{3e^{4/3}}\big).

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