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(a) Find the intervals on which
is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of
.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
17.
(a) Find the intervals on which
(b) Find the local maximum and minimum values of
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
17.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- (a) Encontrar os intervalos em que
é crescente ou decrescente. - (b) Encontrar os valores locais máximos e mínimos de
. - (c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio natural desta função é
(pois exige e também). - Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
Vamos achar a derivada primeira
para estudar crescimento/decrescimento e extremos locais.
Dica rápida sobre derivação que vou usar (passo a passo): se eu escrevo
, então a regra do produto diz que
Aqui é conveniente reescrever
como produto:
Defino
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Agora simplifico os termos passo a passo:
e
Somando:
Colocando em forma de fração mais limpa:
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos e determinamos os intervalos de crescimento/decrescimento.
Pontos críticos ocorrem onde
ou
não existe (mas lembrando que domínio é
).
Igualando a derivada a zero:
Logo
Esse é o único ponto crítico no domínio
.
Para estudar o sinal de
note que
para todo
, então o sinal de
vem do numerador
.
- Se
(ou seja ) então e . - Se
(ou seja ) então e .
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Passo 4
Determinar extremos locais a partir da mudança de sinal de
.
Vimos que
passa de positivo (à esquerda de
) para negativo (à direita de
). Isso indica que em
a função possui um máximo local.
Calculamos o valor de
nesse ponto:
Não há pontos onde
muda de negativo para positivo, portanto não há mínimos locais no domínio.
Passo 5
Agora vamos à concavidade: precisamos da derivada segunda
.
Parto da forma já simplificada de
:
Vou usar a regra do produto outra vez. Tome
Então
e
.
Aplicando a derivada (lembrando do fator ):
Aplicando a derivada (lembrando do fator
Substituindo:
Simplifico o primeiro termo:
Logo
Coloco o fator comum
:
Faço a álgebra dentro do parêntese:
Multiplicando pelo
exterior:
Portanto
Escrevendo em forma de fração mais limpa:
Passo 6
Determinar intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Como
para
, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Zerando
:
- Para
temos , então e : a função é côncava para baixo em . - Para
temos , então e : a função é côncava para cima em .
Como a concavidade muda de para baixo para cima ao atravessar
, esse
é ponto de inflexão. Calculamos o valor da função nesse ponto:
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.
(b) máximo local em com valor
; não há mínimo local.
(c) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
; ponto de inflexão em
.
(b) máximo local em
(c)