(18)Um fio muito longo carregado uniformemente com densidade linear de carga
, contido no plano
, tem uma extremidade na origem e estende até o ponto (L, 0,0 ), com
. Divida o fio em elementos de carga
para calcular o campo elétrico em um ponto da perpendicular ao fio passando na origem.
(b)Mostre que a componente
de
tem o mesmo valor de
.
(b)Mostre que a componente
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um fio semi-infinito carregado com densidade linear de carga λ, que vai de x=0 até x→∞ ao longo do eixo x. Queremos achar o campo elétrico num ponto que fica sobre a reta y>0 passando na origem (ou seja, no ponto P≡(0,y,0)). Isso envolve usar a Lei de Coulomb em forma contínua (integração de dq) e decompor o campo em Ex e Ey. Vamos precisar de:
- dq = λ dx
- vetor posição de dq até P: r = (−x, y)
- Coulomb: dE = (1/4πε₀) (dq / r²) ûᵣ
- decompor em componentes e integrar de x=0 a ∞
Passo 2
Primeiro escrevemos o módulo do vetor r e a expressão de dE:
r = √(x² + y²)
dE = (1/4πε₀)·(λ dx) / (x² + y²)
Agora decompondo:
dEₓ = dE · cos α = dE·(−x/r) = −(λ/4πε₀)· x dx / (x²+y²)^(3/2)
dE_y = dE · sin α = dE·( y/r) = (λ/4πε₀)· y dx / (x²+y²)^(3/2)
r = √(x² + y²)
dE = (1/4πε₀)·(λ dx) / (x² + y²)
Agora decompondo:
dEₓ = dE · cos α = dE·(−x/r) = −(λ/4πε₀)· x dx / (x²+y²)^(3/2)
dE_y = dE · sin α = dE·( y/r) = (λ/4πε₀)· y dx / (x²+y²)^(3/2)
Passo 3
Integral para Ex:
Eₓ = ∫₀^∞ dEₓ = −(λ/4πε₀) ∫₀^∞ x dx / (x²+y²)^(3/2)
Use u = x²+y² ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2.
∫ x dx/(x²+y²)^(3/2) = ∫ du/(2 u^(3/2)) = −1/u^(1/2) (avaliado de u=y² até ∞)
= −[0 − 1/y] = 1/y
Logo
Eₓ = −(λ/4πε₀)·(1/y)
Eₓ = ∫₀^∞ dEₓ = −(λ/4πε₀) ∫₀^∞ x dx / (x²+y²)^(3/2)
Use u = x²+y² ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2.
∫ x dx/(x²+y²)^(3/2) = ∫ du/(2 u^(3/2)) = −1/u^(1/2) (avaliado de u=y² até ∞)
= −[0 − 1/y] = 1/y
Logo
Eₓ = −(λ/4πε₀)·(1/y)
Passo 4
Integral para Ey:
E_y = ∫₀^∞ dE_y = (λ y/4πε₀) ∫₀^∞ dx / (x²+y²)^(3/2)
Sabemos que ∫₀^∞ dx/(x²+a²)^(3/2) = 1/a². Aqui a = y, então vale 1/y².
Logo
E_y = (λ y/4πε₀)·(1/y²) = λ/(4πε₀ y)
E_y = ∫₀^∞ dE_y = (λ y/4πε₀) ∫₀^∞ dx / (x²+y²)^(3/2)
Sabemos que ∫₀^∞ dx/(x²+a²)^(3/2) = 1/a². Aqui a = y, então vale 1/y².
Logo
E_y = (λ y/4πε₀)·(1/y²) = λ/(4πε₀ y)
Passo 5
Comparando:
Eₓ = −λ/(4πε₀ y) e E_y = +λ/(4πε₀ y)
Em valor absoluto eles são iguais: |Eₓ| = E_y = λ/(4πε₀ y).
Eₓ = −λ/(4πε₀ y) e E_y = +λ/(4πε₀ y)
Em valor absoluto eles são iguais: |Eₓ| = E_y = λ/(4πε₀ y).
Resposta
Eₓ = −λ/(4πε₀ y), E_y = +λ/(4πε₀ y) ⇒ a componente y tem mesmo valor (em módulo) que a componente x.