(18)Um fio muito longo carregado uniformemente com densidade linear de carga lambda, contido no plano x y, tem uma extremidade na origem e estende até o ponto (L, 0,0 ), com L longrightarrow infty. Divida o fio em elementos de carga d q=lambda d x para calcular o campo elétrico em um ponto da perpendicular ao fio passando na origem.
(b)Mostre que a componente y de E tem o mesmo valor de Ex.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um fio semi-infinito carregado com densidade linear de carga λ, que vai de x=0 até x→∞ ao longo do eixo x. Queremos achar o campo elétrico num ponto que fica sobre a reta y>0 passando na origem (ou seja, no ponto P≡(0,y,0)). Isso envolve usar a Lei de Coulomb em forma contínua (integração de dq) e decompor o campo em Ex e Ey. Vamos precisar de:
  • dq = λ dx
  • vetor posição de dq até P: r = (−x, y)
  • Coulomb: dE = (1/4πε₀) (dq / r²) ûᵣ
  • decompor em componentes e integrar de x=0 a ∞

Passo 2

Primeiro escrevemos o módulo do vetor r e a expressão de dE:
r = √(x² + y²)
dE = (1/4πε₀)·(λ dx) / (x² + y²)
Agora decompondo:
dEₓ = dE · cos α = dE·(−x/r) = −(λ/4πε₀)· x dx / (x²+y²)^(3/2)
dE_y = dE · sin α = dE·( y/r) = (λ/4πε₀)· y dx / (x²+y²)^(3/2)

Passo 3

Integral para Ex:
Eₓ = ∫₀^∞ dEₓ = −(λ/4πε₀) ∫₀^∞ x dx / (x²+y²)^(3/2)
Use u = x²+y² ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2.
∫ x dx/(x²+y²)^(3/2) = ∫ du/(2 u^(3/2)) = −1/u^(1/2) (avaliado de u=y² até ∞)
= −[0 − 1/y] = 1/y
Logo
Eₓ = −(λ/4πε₀)·(1/y)

Passo 4

Integral para Ey:
E_y = ∫₀^∞ dE_y = (λ y/4πε₀) ∫₀^∞ dx / (x²+y²)^(3/2)
Sabemos que ∫₀^∞ dx/(x²+a²)^(3/2) = 1/a². Aqui a = y, então vale 1/y².
Logo
E_y = (λ y/4πε₀)·(1/y²) = λ/(4πε₀ y)

Passo 5

Comparando:
Eₓ = −λ/(4πε₀ y) e E_y = +λ/(4πε₀ y)
Em valor absoluto eles são iguais: |Eₓ| = E_y = λ/(4πε₀ y).

Resposta

Eₓ = −λ/(4πε₀ y), E_y = +λ/(4πε₀ y) ⇒ a componente y tem mesmo valor (em módulo) que a componente x.

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