(19)Uma circunferência de raio R está divida em duas partes iguais. Uma parte tem carga Q distribuída uniformemente e a outra tem carga -Q distribuída uniformemente. Mostre que o campo elétrico no centro da circunferência é perpendicular ao diâmetro que separa as duas partes e tem intensisdade dada por:
E=lambdapi epsilon0 R

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma circunferência de raio E = lambdapi ,varepsilon0,R, dividida em duas “meias–arcos” (duas partes iguais). Numa delas está espalhada uniformemente uma carga positiva dE = 14pivarepsilon0,dqR^2,r e na outra a carga negativa . A tarefa é mostrar que, lá no centro da circunferência, o campo elétrico resultante é perpendicular ao diâmetro que separa essas duas partes e que sua intensidade vale
onde é a densidade linear (carga por comprimento) de cada metade.
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Coulomb para campo de um elemento de carga.
  • Superposição de campos (somatória vetorial).
  • Integração em coordenadas angulares para arcos.
O que precisamos saber antes de começar:
  1. Como escrever a densidade linear .
  2. Como o campo de um elemento infinitesimal de carga a uma distância do ponto onde medimos o campo é
  1. A simetria que vai cancelar componentes horizontais e somar só a componente “vertical” (perpendicular ao diâmetro).

Passo 2

Vamos parametrizar o arco com um ângulo dq = lambda,R,dtheta, medido a partir do diâmetro que separa as cargas (coloca a origem no centro, eixo dE = 14pivarepsilon0,dqR^2 = 14pivarepsilon0,lambda,R,dthetaR^2 = lambda4pivarepsilon0,R,dtheta alinhado com o diâmetro). Cada elemento de arco tem
pois é a carga por unidade de comprimento e o comprimento infinitesimal é .
O campo gerado por esse no centro tem módulo
E a direção de é radial, apontando (pra carga positiva) para fora, num ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Agora vamos quebrar dEy^(+) = lambda4pivarepsilon0,R,sintheta,dtheta em componentes Ey^(+) = integral0^pi lambda4pivarepsilon0,R,sintheta,dtheta = lambda4pivarepsilon0,Rl[-costhetar]0^pi = lambda4pivarepsilon0,R,( -(-1) - (-1) ) = lambda4pivarepsilon0,Rcdot 2 = lambda2pivarepsilon0,R e .
  • Componente : .
  • Componente : .
Pelo motivo de simetria, ao integrar de a para o arco positivo (e de a para o arco negativo), as partes se cancelam entre e . O que sobra é só a componente .
Focando primeiro na meia–circunferência com carga ( vai de a ):
Integramos de a :

Passo 4

Agora a meia–circunferência com carga Ey^(-) = -lambda2pivarepsilon0,Rtimes(-1) = lambda2pivarepsilon0,R faz a mesma integral, mas Etotal = Ey^(+) + Ey^(-) = lambda2pivarepsilon0,R + lambda2pivarepsilon0,R = lambdapivarepsilon0,R vem negativo ( ). Além disso, o campo de carga negativa aponta para as cargas, ou seja, também “puxa” na mesma direção que o campo da parte positiva está “empurrando”. Logo o módulo é o mesmo e o sinal dá para somar:
Somando os dois:

Resposta

O campo no centro é perpendicular ao diâmetro que separa as duas cargas (ou seja, está apontando no eixo vertical boxedE = lambdapi,varepsilon0,R ) e sua intensidade é

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