(19)Uma circunferência de raio
está divida em duas partes iguais. Uma parte tem carga
distribuída uniformemente e a outra tem carga
distribuída uniformemente. Mostre que o campo elétrico no centro da circunferência é perpendicular ao diâmetro que separa as duas partes e tem intensisdade dada por:
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma circunferência de raio
dividida em duas “meias–arcos” (duas partes iguais). Numa delas está espalhada uniformemente uma carga positiva
e na outra a carga negativa
. A tarefa é mostrar que, lá no centro da circunferência, o campo elétrico resultante é perpendicular ao diâmetro que separa essas duas partes e que sua intensidade vale
onde
é a densidade linear (carga por comprimento) de cada metade.
Conteúdo que vamos usar:
- Lei de Coulomb para campo de um elemento de carga.
- Superposição de campos (somatória vetorial).
- Integração em coordenadas angulares para arcos.
O que precisamos saber antes de começar:
- Como escrever a densidade linear
. - Como o campo de um elemento infinitesimal de carga
a uma distância do ponto onde medimos o campo é
- A simetria que vai cancelar componentes horizontais e somar só a componente “vertical” (perpendicular ao diâmetro).
Passo 2
Vamos parametrizar o arco com um ângulo
medido a partir do diâmetro que separa as cargas (coloca a origem no centro, eixo
alinhado com o diâmetro). Cada elemento de arco tem
pois
é a carga por unidade de comprimento e o comprimento infinitesimal é
.
O campo gerado por esse
no centro tem módulo
E a direção de
é radial, apontando (pra carga positiva) para fora, num ângulo
em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora vamos quebrar
em componentes
e
.
- Componente
: . - Componente
: .
Pelo motivo de simetria, ao integrar
de
a
para o arco positivo (e de
a
para o arco negativo), as partes
se cancelam entre
e
. O que sobra é só a componente
.
Focando primeiro na meia–circunferência com carga
(
vai de
a
):
Integramos de
a
:
Passo 4
Agora a meia–circunferência com carga
faz a mesma integral, mas
vem negativo (
). Além disso, o campo de carga negativa aponta para as cargas, ou seja, também “puxa” na mesma direção
que o campo da parte positiva está “empurrando”. Logo o módulo é o mesmo e o sinal dá para somar:
Somando os dois:
Resposta
O campo no centro é perpendicular ao diâmetro que separa as duas cargas (ou seja, está apontando no eixo vertical
) e sua intensidade é