18.H. Mostre que a sequência X=\left(x_{n}\right) em \boldsymbol{R} diverge para +\infty se e somente se lim inf X=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre uma sequência X=(x_n) de números reais:
  • (A) A sequência diverge para +\infty.
  • (B) \displaystyle \liminf X = +\infty.
Informações dadas:
  • Há uma sequência X=(x_n) com termos em \mathbb{R}.
  • Precisa-se provar que (A) é verdadeira se, e somente se, (B) é verdadeira.

Passo 2

Vou começar por definir com precisão e intuição as duas noções que aparecem no enunciado, porque entender bem as definições é crucial para provar equivalências.
Definição de "divergir para +\infty":
\text{A sequência }(x_n)\text{ diverge para }+\inftyê
significa que, para todo número real \,M, existe um índice natural N tal que, para todo n\ge N,
x_n > M.
Intuição: os termos ficam arbitrariamente grandes e, após algum ponto, todos os termos são maiores que qualquer limite M que escolhermos.
Definição de \liminf de uma sequência:
Para cada n definimos
s_n := \inf_{k\ge n} x_k,
ou seja, s_n é o ínfimo (o menor limite inferior) dos termos da sequência a partir da posição n. Então a sequência (s_n) é uma sequência de números estendida (poderá assumir valores em [-\infty,+\infty]) e define-se
\liminf_{n\to\infty} x_n := \lim_{n\to\infty} s_n.
Intuição: s_n mede o menor valor que a sequência atinge (ou se aproxima) a partir de n; a \liminf é o limite desses mínimos “futuros”.

Passo 3

Propriedades básicas úteis sobre s_n=\inf_{k\ge n} x_k (vou provar porque vou usá-las):
  1. Monotonicidade: para todo n vale
s_{n+1} = \inf_{k\ge n+1} x_k \ge \inf_{k\ge n} x_k = s_n.
Explicação: o conjunto sobre o qual se toma o ínfimo em s_{n+1} é um subconjunto do conjunto usado em s_n; tirar elementos do conjunto só pode aumentar (ou manter) o ínfimo. Logo (s_n) é não decrescente (ou monotonicamente crescente).
  1. Limite e \liminf: como (s_n) é não decrescente, o limite \lim_{n\to\infty} s_n existe no sentido estendido (pode ser um número real ou +\infty), e esse limite é justamente \liminf_{n\to\infty} x_n por definição.
Essas duas observações serão usadas para ligar as duas noções.

Passo 4

Prova da implicação (A) \Rightarrow (B):
Suponha que (x_n) diverge para +\infty. Quero mostrar que \liminf_{n\to\infty} x_n = +\infty.
Pegue um M\in\mathbb{R} arbitrário. Pela definição de divergir para +\infty, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
x_n > M.
Então, para qualquer n\ge N, todos os termos com índice \ge n são maiores que M. Portanto o ínfimo desses termos satisfaz
s_n = \inf_{k\ge n} x_k \ge M.
Isso vale para todo n\ge N. Assim a sequência (s_n) fica, a partir de N, sempre maior ou igual a M. Como M foi escolhido arbitrariamente, concluímos que s_n\to +\infty quando n\to\infty. Em notação:
\liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} s_n = +\infty.
Portanto (A) implica (B).

Passo 5

Prova da implicação (B) \Rightarrow (A):
Agora suponha que \liminf_{n\to\infty} x_n = +\infty. Isso significa que s_n\to +\infty quando n\to\infty.
Novamente tome um M\in\mathbb{R} qualquer. Como s_n\to +\infty, existe N tal que, para todo n\ge N,
s_n > M.
Mas s_n = \inf_{k\ge n} x_k > M significa, pela definição de ínfimo, que todos os termos x_k com k\ge n são maiores que M; caso contrário o ínfimo seria menor ou igual a algum desses termos. Logo para todo n\ge N e todo k\ge n tem-se
x_k > M.
Em particular, escolhendo k=n, obtemos que para todo n\ge N vale x_n > M. Isso é exatamente a definição de que (x_n) diverge para +\infty. Assim (B) implica (A).

Passo 6

Conclusão e comentário final:
As duas implicações mostram a equivalência desejada:
\text{A sequência }(x_n)\text{ diverge para }+\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \liminf_{n\to\infty} x_n = +\infty.ê
Comentário prático: a chave é trabalhar com s_n=\inf_{k\ge n}x_k, observar que (s_n) é não decrescente e traduzir as definições "para todo M existe N" em declarações sobre s_n. Um exemplo simples que confirma a intuição é x_n=n: aí s_n=n e ambos divergem para +\infty.

Resposta

A sequência (x_n) diverge para +\infty se, e somente se, \displaystyle \liminf_{n\to\infty} x_n = +\infty.

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