18.H. Mostre que a sequência
em
diverge para
se e somente se lim inf
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre uma sequência
de números reais:
- (A) A sequência diverge para
. - (B)
.
Informações dadas:
- Há uma sequência
com termos em . - Precisa-se provar que (A) é verdadeira se, e somente se, (B) é verdadeira.
Passo 2
Vou começar por definir com precisão e intuição as duas noções que aparecem no enunciado, porque entender bem as definições é crucial para provar equivalências.
Definição de "divergir para
":
significa que, para todo número real
, existe um índice natural
tal que, para todo
,
Intuição: os termos ficam arbitrariamente grandes e, após algum ponto, todos os termos são maiores que qualquer limite
que escolhermos.
Definição de
de uma sequência:
Para cada definimos
Para cada
ou seja,
é o ínfimo (o menor limite inferior) dos termos da sequência a partir da posição
. Então a sequência
é uma sequência de números estendida (poderá assumir valores em
) e define-se
Intuição:
mede o menor valor que a sequência atinge (ou se aproxima) a partir de
; a
é o limite desses mínimos “futuros”.
Passo 3
Propriedades básicas úteis sobre
(vou provar porque vou usá-las):
- Monotonicidade: para todo
vale
Explicação: o conjunto sobre o qual se toma o ínfimo em
é um subconjunto do conjunto usado em
; tirar elementos do conjunto só pode aumentar (ou manter) o ínfimo. Logo
é não decrescente (ou monotonicamente crescente).
- Limite e
: como é não decrescente, o limite existe no sentido estendido (pode ser um número real ou ), e esse limite é justamente por definição.
Essas duas observações serão usadas para ligar as duas noções.
Passo 4
Prova da implicação (A)
(B):
Suponha que diverge para
. Quero mostrar que
.
Suponha que
Pegue um
arbitrário. Pela definição de divergir para
, existe
tal que, para todo
,
Então, para qualquer
, todos os termos com índice
são maiores que
. Portanto o ínfimo desses termos satisfaz
Isso vale para todo
. Assim a sequência
fica, a partir de
, sempre maior ou igual a
. Como
foi escolhido arbitrariamente, concluímos que
quando
. Em notação:
Portanto (A) implica (B).
Passo 5
Prova da implicação (B)
(A):
Agora suponha que . Isso significa que
quando
.
Agora suponha que
Novamente tome um
qualquer. Como
, existe
tal que, para todo
,
Mas
significa, pela definição de ínfimo, que todos os termos
com
são maiores que
; caso contrário o ínfimo seria menor ou igual a algum desses termos. Logo para todo
e todo
tem-se
Em particular, escolhendo
, obtemos que para todo
vale
. Isso é exatamente a definição de que
diverge para
. Assim (B) implica (A).
Passo 6
Conclusão e comentário final:
As duas implicações mostram a equivalência desejada:
As duas implicações mostram a equivalência desejada:
Comentário prático: a chave é trabalhar com
, observar que
é não decrescente e traduzir as definições "para todo
existe
" em declarações sobre
. Um exemplo simples que confirma a intuição é
: aí
e ambos divergem para
.
Resposta
A sequência
diverge para
se, e somente se,
.