18.F. Se X=\left(x_{n}\right) é uma sequência limitada de elementos estritamente positivos em \boldsymbol{R}, mostre que lim sup \left(x_{n}^{1 n}\right) \leq \lim \sup \left(x_{n+1} / x_{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar uma desigualdade envolvendo limites superiores de duas sequências construídas a partir de uma sequência \left(x_n\right). Vou listar com clareza o que foi dado e o que se pede.
  • Dado: \left(x_n\right) é uma sequência limitada de números reais estritamente positivos. Ou seja, para todo n vale x_n>0 e existe M>0 tal que \,x_n\le M para todo n.
  • Pedido: mostrar que
\limsup_{n\to\infty} \left(x_n^{1/n}\right) \le \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right).

Passo 2

Estratégia e ferramentas que vamos usar (sem resolver ainda): como os x_n são positivos, podemos trabalhar com o logaritmo natural \ln. Usar \ln é útil porque transforma produto em soma e potência em multiplicação, o que facilita comparar médias com máximos. Vou lembrar duas propriedades simples que usarei:
  • \ln é crescente: se a<b e a,b>0 então \ln a<\ln b.
  • Para uma sequência de números reais a_1,a_2,\dots vale sempre
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k \le \max_{1\le k\le n} a_k,
pois a média não pode exceder o maior dos termos.
Também vou usar a definição operacional de limite superior: \limsup_{n\to\infty} y_n = \lim_{n\to\infty} (\sup_{k\ge n} y_k), e que para b_n=\max_{1\le k\le n} a_k temos \lim_{n\to\infty} b_n = \limsup_{n\to\infty} a_n (porque b_n é não decrescente e tende ao supremo dos a_k).

Passo 3

Escrever x_n como produto de razões adjacentes para poder aplicar logaritmo. Para n\ge 2 temos a fatoração telescópica
x_n = x_1\cdot\frac{x_2}{x_1}\cdot\frac{x_3}{x_2}\cdots\frac{x_n}{x_{n-1}} = x_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{x_{k+1}}{x_k}.
Essa identidade é exata e só usa que os termos são positivos (para que as razões façam sentido).

Passo 4

Aplicar potência 1/n e logaritmo para passar a soma. Pegando (\cdot)^{1/n} em ambos os lados e em seguida \ln, obtemos para n\ge 2
\ln\!\left(x_n^{1/n}\right) = \frac{1}{n}\ln x_n = \frac{1}{n}\ln x_1 + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \ln\!\left(\frac{x_{k+1}}{x_k}\right).
Aqui defini as quantidades que aparecem: para cada k deixo
a_k := \ln\!\left(\frac{x_{k+1}}{x_k}\right).
Então a expressão fica
\ln\!\left(x_n^{1/n}\right) = \frac{1}{n}\ln x_1 + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} a_k.

Passo 5

Comparar a média das a_k com o máximo das a_k. Como lembrado no Passo 2,
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} a_k \le \max_{1\le k\le n-1} a_k.
Logo, juntando com a expressão do Passo 4,
\ln\!\left(x_n^{1/n}\right) \le \frac{1}{n}\ln x_1 + \max_{1\le k\le n-1} a_k.

Passo 6

Tomar limite superior quando n\to\infty. Primeiro observe que \dfrac{1}{n}\ln x_1 \to 0 pois \ln x_1 é constante. Defina
b_{n-1} := \max_{1\le k\le n-1} a_k.
A sequência (b_{n}) é não decrescente e tem limite finito ou infinito igual a \limsup_{n\to\infty} a_n. Aplicando \limsup na desigualdade do Passo 5 obtemos
\limsup_{n\to\infty} \ln\!\left(x_n^{1/n}\right) \le \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\ln x_1 + b_{n-1}\right) = 0 + \lim_{n\to\infty} b_{n-1} = \limsup_{n\to\infty} a_n.

Passo 7

Reescrever a_n em termos das razões originais e exporenciar para voltar à forma desejada. Lembre que a_n=\ln\!\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right). Assim a desigualdade no logaritmo é
\limsup_{n\to\infty} \ln\!\left(x_n^{1/n}\right) \le \limsup_{n\to\infty} \ln\!\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right).
Como a função t\mapsto e^t é crescente, podemos aplicar exponencial em ambos os lados para obter
\exp\!\left(\limsup_{n\to\infty} \ln\!\left(x_n^{1/n}\right)\right) \le \exp\!\left(\limsup_{n\to\infty} \ln\!\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)\right).
Mas para todo número positivo y vale \exp(\ln y)=y, e a propriedade geral de \exp e \ln garante que o lado esquerdo é exatamente \limsup_{n\to\infty} x_n^{1/n} e o lado direito é \limsup_{n\to\infty} (x_{n+1}/x_n). Portanto
\limsup_{n\to\infty} \left(x_n^{1/n}\right) \le \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\limsup_{n\to\infty} \left(x_n^{1/n}\right) \le \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right).

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