18.F. Se
é uma sequência limitada de elementos estritamente positivos em
, mostre que lim sup
.
Passo 1
O enunciado pede para provar uma desigualdade envolvendo limites superiores de duas sequências construídas a partir de uma sequência
. Vou listar com clareza o que foi dado e o que se pede.
- Dado:
é uma sequência limitada de números reais estritamente positivos. Ou seja, para todo vale e existe tal que para todo . - Pedido: mostrar que
Passo 2
Estratégia e ferramentas que vamos usar (sem resolver ainda): como os
são positivos, podemos trabalhar com o logaritmo natural
. Usar
é útil porque transforma produto em soma e potência em multiplicação, o que facilita comparar médias com máximos. Vou lembrar duas propriedades simples que usarei:
-
é crescente: se e então . - Para uma sequência de números reais
vale sempre
pois a média não pode exceder o maior dos termos.
Também vou usar a definição operacional de limite superior:
, e que para
temos
(porque
é não decrescente e tende ao supremo dos
).
Passo 3
Escrever
como produto de razões adjacentes para poder aplicar logaritmo. Para
temos a fatoração telescópica
Essa identidade é exata e só usa que os termos são positivos (para que as razões façam sentido).
Passo 4
Aplicar potência
e logaritmo para passar a soma. Pegando
em ambos os lados e em seguida
, obtemos para
Aqui defini as quantidades que aparecem: para cada
deixo
Então a expressão fica
Passo 5
Comparar a média das
com o máximo das
. Como lembrado no Passo 2,
Logo, juntando com a expressão do Passo 4,
Passo 6
Tomar limite superior quando
. Primeiro observe que
pois
é constante. Defina
A sequência
é não decrescente e tem limite finito ou infinito igual a
. Aplicando
na desigualdade do Passo 5 obtemos
Passo 7
Reescrever
em termos das razões originais e exporenciar para voltar à forma desejada. Lembre que
. Assim a desigualdade no logaritmo é
Como a função
é crescente, podemos aplicar exponencial em ambos os lados para obter
Mas para todo número positivo
vale
, e a propriedade geral de
e
garante que o lado esquerdo é exatamente
e o lado direito é
. Portanto
que é exatamente o que queríamos demonstrar.