- G. Determine o limite superior e o limite inferior das seguintes sequências em
:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o limite superior e o limite inferior da sequência em
onde
é o número natural
. Informações relevantes dadas:
- A sequência é
com . - As expressões trigonométricas estão com o argumento em radianos (padrão em análise).
As perguntas concretas que vamos responder: qual ée qual é .
Passo 2
O que significam
e
na prática (explicação didática).
- Definição prática de
: . Intuitivamente, é o “maior” valor-limite que subsequências de podem atingir; se existe uma subsequência que tende a , então . - Definição prática de
: . Intuitivamente, é o “menor” valor-limite que subsequências podem atingir; se existe uma subsequência que tende a , então .
Portanto, para decidire é suficiente produzir subsequências que tendam a e a , ou mostrar que não é possível.
Passo 3
Observação sobre
e comportamento perto de assíntotas.
- A função
é -periódica e tem assíntotas verticais (pólos simples) nos pontos
- Em cada intervalo aberto
a função é contínua e assume todos os valores reais (é uma bijeção desse intervalo para ). Em particular, dados e qualquer inteiro , existem pontos arbitrariamente próximos de tais que (aproximando pela esquerda do polo) e outros tais que (aproximando pela direita do polo).
Passo 4
Propriedade aritmética necessária: densidade dos restos
módulo
.
- A sequência
tomada módulo (isto é, os valores ou equivalentemente as partes fracionárias de multiplicadas por ) é densa no intervalo . Isso decorre do fato de que é um número irracional em relação a : a sequência é densa módulo sempre que é irracional; aqui podemos tomar . Em termos intuitivos: existem inteiros que colocam tão perto quanto quisermos de qualquer ponto desejado da reta real tomado módulo . - Consequência prática: para qualquer ponto
fixo e qualquer existe um inteiro tal que para algum inteiro . Em particular, podemos aproximar arbitrariamente bem pelos pontos de pólo .
Passo 5
Como usar densidade + comportamento de
para obter valores grandes (positivos).
- Escolha um número grande
. Pela densidade, existe um tal que esteja muito próximo de algum pólo mas ligeiramente à esquerda dele; então (porque ao aproximar pela esquerda vai a ). Como isso vale para todo , a imagem da sequência é ilimitada superiormente: atinge valores arbitrariamente grandes para certos índices. - Agora vamos construir uma subsequência explícita em termos de índices crescentes: para cada
escolha um índice tal que (isso é possível porque é denso em e, em particular, atinge valores arbitrariamente grandes). Além disso, podemos escolher de modo que seja crescente e (basta, para cada , procurar um grande o suficiente que satisfaça ). - Para essa subsequência vale
Como
quando
, obtemos
. Portanto existe uma subsequência de
que tende a
. Isso implica
Passo 6
Construir subsequência que vai a
.
- A mesma ideia funciona para o lado negativo: para cada
existe tal que (aproximando um pólo pela direita). Escolha os de forma crescente e com . - Então
o que implica
quando
. Assim existe uma subsequência que tende a
. Isso implica
Passo 7
Conclusão e interpretação final (resumo).
- Encontramos uma subsequência de
que tende a e outra subsequência que tende a . Portanto a sequência não tem limite finito, é não-limitada em ambos os sentidos. - Pelo significado de
e , concluímos que e .