1. G. Determine o limite superior e o limite inferior das seguintes sequências em R :
    (d) (n \tan n)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite superior e o limite inferior da sequência em \mathbb{R}
a_n = n \tan n,
onde n é o número natural 1,2,3,\dots. Informações relevantes dadas:
  • A sequência é \{a_n\}_{n\ge1} com a_n=n\tan n.
  • As expressões trigonométricas estão com o argumento em radianos (padrão em análise).
    As perguntas concretas que vamos responder: qual é \displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n e qual é \displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

O que significam \limsup e \liminf na prática (explicação didática).
  • Definição prática de \limsup: \displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sup\{a_k: k\ge n\}. Intuitivamente, é o “maior” valor-limite que subsequências de a_n podem atingir; se existe uma subsequência que tende a +\infty, então \limsup=+\infty.
  • Definição prática de \liminf: \displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \inf\{a_k: k\ge n\}. Intuitivamente, é o “menor” valor-limite que subsequências podem atingir; se existe uma subsequência que tende a -\infty, então \liminf=-\infty.
    Portanto, para decidir \limsup e \liminf é suficiente produzir subsequências que tendam a +\infty e a -\infty, ou mostrar que não é possível.

Passo 3

Observação sobre \tan x e comportamento perto de assíntotas.
  • A função \tan x é \pi-periódica e tem assíntotas verticais (pólos simples) nos pontos
x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Em cada intervalo aberto \left(k\pi-\tfrac{\pi}{2},\,k\pi+\tfrac{\pi}{2}\right) a função \tan x é contínua e assume todos os valores reais (é uma bijeção desse intervalo para \mathbb{R}). Em particular, dados M>0 e qualquer inteiro k, existem pontos x arbitrariamente próximos de \frac{\pi}{2}+k\pi tais que \tan x > M (aproximando pela esquerda do polo) e outros tais que \tan x < -M (aproximando pela direita do polo).

Passo 4

Propriedade aritmética necessária: densidade dos restos n módulo \pi.
  • A sequência \{n\}_{n\ge1} tomada módulo \pi (isto é, os valores n \bmod \pi ou equivalentemente as partes fracionárias de n/\pi multiplicadas por \pi) é densa no intervalo [0,\pi). Isso decorre do fato de que \pi é um número irracional em relação a 1: a sequência \{n\alpha\} é densa módulo 1 sempre que \alpha é irracional; aqui podemos tomar \alpha = 1/\pi. Em termos intuitivos: existem inteiros n que colocam n tão perto quanto quisermos de qualquer ponto desejado da reta real tomado módulo \pi.
  • Consequência prática: para qualquer ponto x_0 fixo e qualquer \varepsilon>0 existe um inteiro n tal que |n-x_0 - m\pi|<\varepsilon para algum inteiro m. Em particular, podemos aproximar n arbitrariamente bem pelos pontos de pólo \frac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 5

Como usar densidade + comportamento de \tan para obter valores grandes (positivos).
  • Escolha um número grande M>0. Pela densidade, existe um n\in\mathbb{N} tal que n esteja muito próximo de algum pólo \frac{\pi}{2}+k\pi mas ligeiramente à esquerda dele; então \tan n > M (porque ao aproximar pela esquerda \tan vai a +\infty). Como isso vale para todo M, a imagem da sequência \{\tan n\} é ilimitada superiormente: \tan n atinge valores arbitrariamente grandes para certos índices.
  • Agora vamos construir uma subsequência explícita em termos de índices crescentes: para cada j\in\mathbb{N} escolha um índice n_j tal que \tan n_j \ge j (isso é possível porque \tan n é denso em \mathbb{R} e, em particular, atinge valores arbitrariamente grandes). Além disso, podemos escolher n_j de modo que n_j seja crescente e n_j\ge j (basta, para cada j, procurar um n grande o suficiente que satisfaça \tan n\ge j).
  • Para essa subsequência vale
a_{n_j} = n_j \tan n_j \ge n_j\cdot j \ge j\cdot j = j^2.
Como j^2\to +\infty quando j\to\infty, obtemos a_{n_j}\to +\infty. Portanto existe uma subsequência de a_n que tende a +\infty. Isso implica
\limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty.

Passo 6

Construir subsequência que vai a -\infty.
  • A mesma ideia funciona para o lado negativo: para cada j existe m_j tal que \tan m_j \le -j (aproximando um pólo pela direita). Escolha os m_j de forma crescente e com m_j\ge j.
  • Então
a_{m_j} = m_j \tan m_j \le m_j\cdot(-j) \le -j^2,
o que implica a_{m_j}\to -\infty quando j\to\infty. Assim existe uma subsequência que tende a -\infty. Isso implica
\liminf_{n\to\infty} a_n = -\infty.

Passo 7

Conclusão e interpretação final (resumo).
  • Encontramos uma subsequência de a_n que tende a +\infty e outra subsequência que tende a -\infty. Portanto a sequência a_n=n\tan n não tem limite finito, é não-limitada em ambos os sentidos.
  • Pelo significado de \limsup e \liminf, concluímos que \displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty e \displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n = -\infty.

Resposta

\displaystyle\limsup_{n\to\infty} n\tan n = +\infty
\displaystyle\liminf_{n\to\infty} n\tan n = -\infty

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