- A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar
e
para a sequência limitada em
dada em (a) por
.
Informações fornecidas:
- A sequência é
. - A sequência é limitada (os termos valem apenas
ou ). - Precisamos encontrar
e .
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo):
- Para uma sequência
define-se, para cada ,
Aqui
é o supremo (menor majorante) dos termos da sequência a partir do índice
, e
é o ínfimo (maior minorante) desses mesmos termos.
- Então
Essa definição é muito útil na prova e na prova por casos: calcula-se
e
explícitos e toma-se o limite.
Passo 3
Vamos olhar os primeiros termos e o padrão da sequência
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Logo a sequência oscila:. Em particular, para todo existem índices com valor (pegando um par grande) e existem índices com valor (pegando um ímpar grande).
Passo 4
Calcular
para um
arbitrário.
- Como notado, para qualquer
há sempre algum par, e para esses temos . - Portanto, nos termos da cauda
aparece o valor . Como os únicos valores possíveis da sequência são e , o supremo dessa cauda é . - Conclusão: para todo
,
Passo 5
Calcular
para um
arbitrário.
- De forma análoga, para qualquer
existe algum ímpar com . - Assim, a cauda contém o valor
e, como os únicos valores possíveis são e , o ínfimo da cauda é . - Conclusão: para todo
,
Passo 6
Agora aplicamos a definição de limsup e liminf como limites de
e
.
- Como
para todo , temos
- Como
para todo , temos
Pelo que foi definido em Passo 2, esses limites são exatamente
e
.
Passo 7
Uma interpretação alternativa (útil para a prova): olhar as subsequências. A subsequência dos termos com índices pares é
que converge para
. A subsequência dos índices ímpares é
que converge para
. Assim os pontos de acumulação (limites de subsequências) são
; então
é o maior deles e
é o menor. Isso confirma o resultado obtido pelos
e
.