1. A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em \boldsymbol{R} :
    (a) \left((-1)^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar \limsup e \liminf para a sequência limitada em \mathbb{R} dada em (a) por \left((-1)^{n}\right)_{n\ge1}.
Informações fornecidas:
  • A sequência é \left((-1)^{n}\right)_{n\ge1}.
  • A sequência é limitada (os termos valem apenas 1 ou -1).
  • Precisamos encontrar \limsup_{n\to\infty}(-1)^{n} e \liminf_{n\to\infty}(-1)^{n}.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Para uma sequência \left(a_n\right) define-se, para cada n,
s_n:=\sup_{k\ge n} a_k \qquad\text{e}\qquad i_n:=\inf_{k\ge n} a_k.
Aqui s_n é o supremo (menor majorante) dos termos da sequência a partir do índice n, e i_n é o ínfimo (maior minorante) desses mesmos termos.
  • Então
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} s_n, \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} i_n.
Essa definição é muito útil na prova e na prova por casos: calcula-se s_n e i_n explícitos e toma-se o limite.

Passo 3

Vamos olhar os primeiros termos e o padrão da sequência \left((-1)^{n}\right):
  • Para n=1: (-1)^1=-1.
  • Para n=2: (-1)^2=1.
  • Para n=3: (-1)^3=-1.
  • Para n=4: (-1)^4=1.
    Logo a sequência oscila: -1,\,1,\,-1,\,1,\dots. Em particular, para todo n existem índices k\ge n com valor 1 (pegando um k par grande) e existem índices k\ge n com valor -1 (pegando um k ímpar grande).

Passo 4

Calcular s_n=\sup_{k\ge n} (-1)^k para um n arbitrário.
  • Como notado, para qualquer n há sempre algum k\ge n par, e para esses k temos (-1)^k=1.
  • Portanto, nos termos da cauda \{(-1)^k: k\ge n\} aparece o valor 1. Como os únicos valores possíveis da sequência são 1 e -1, o supremo dessa cauda é 1.
  • Conclusão: para todo n,
s_n=\sup_{k\ge n}(-1)^k = 1.

Passo 5

Calcular i_n=\inf_{k\ge n} (-1)^k para um n arbitrário.
  • De forma análoga, para qualquer n existe algum k\ge n ímpar com (-1)^k=-1.
  • Assim, a cauda contém o valor -1 e, como os únicos valores possíveis são 1 e -1, o ínfimo da cauda é -1.
  • Conclusão: para todo n,
i_n=\inf_{k\ge n}(-1)^k = -1.

Passo 6

Agora aplicamos a definição de limsup e liminf como limites de s_n e i_n.
  • Como s_n=1 para todo n, temos
\lim_{n\to\infty} s_n = 1.
  • Como i_n=-1 para todo n, temos
\lim_{n\to\infty} i_n = -1.
Pelo que foi definido em Passo 2, esses limites são exatamente \limsup e \liminf.

Passo 7

Uma interpretação alternativa (útil para a prova): olhar as subsequências. A subsequência dos termos com índices pares é \left((-1)^{2k}\right)_{k\ge1}=1,1,1,\dots que converge para 1. A subsequência dos índices ímpares é \left((-1)^{2k-1}\right)_{k\ge1}=-1,-1,-1,\dots que converge para -1. Assim os pontos de acumulação (limites de subsequências) são \{-1,1\}; então \limsup é o maior deles e \liminf é o menor. Isso confirma o resultado obtido pelos s_n e i_n.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(-1)^n = 1
\displaystyle \liminf_{n\to\infty}(-1)^n = -1

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