18- O isótopo comum do urânio,
, possui meia-vida de
anos, decaindo para
pela emissão alfa. (a) Qual é a constante de decaimento? (b) Que massa de urânio é exigida para uma atividade de 1,00 curie?
(c) Quantas partículas alfa são emitidas por segundo por
de urânio?
(c) Quantas partículas alfa são emitidas por segundo por
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- A meia-vida do isótopo
é . - O decaimento é por emissão alfa (cada decaimento = 1 partícula alfa).
- A constante de Avogadro é
(valor padrão). - A massa molar aproximada do
é . - A conversão de 1 ano em segundos usarei
. - 1 curie vale
.
O enunciado pede:
(a) a constante de decaimento (unidade
);
(b) a massa de urânio necessária para atividade ;
(c) quantas partículas alfa (por segundo) são emitidas por de urânio.
(a) a constante de decaimento
(b) a massa de urânio necessária para atividade
(c) quantas partículas alfa (por segundo) são emitidas por
Passo 2
Explicar a teoria básica que vou usar (lei do decaimento e definição de atividade).
- A lei do decaimento radioativo diz que o número de núcleos
decresce segundo
onde
é o número inicial de núcleos e
é a constante de decaimento (unidade
). Aqui
é a taxa de decaimento por núcleo.
- A meia-vida
está relacionada a por
Explicação: meia-vida é o tempo para que
caia à metade, então
implica
, daí
.
Agora converto a meia-vida para segundos para poder obter
em
.
- Conversão:
Calculemos:
Agora aplico
:
Como
, temos
(Arredondei mantendo três algarismos significativos.)
Passo 3
Resolver (b): massa necessária para atividade
.
- Definição de atividade
: é o número de decaimentos por segundo. Para um conjunto de núcleos,
- Relação entre número de núcleos
e massa : se a massa molar é (g/mol),
- Juntando as fórmulas:
Agora substituo valores. Primeiro escrevo
em
:
Então
Vamos calcular passo a passo os fatores numéricos e as potências de 10.
- Produto no numerador:
- Produto no denominador:
Agora a razão:
Em unidades maiores:
(Usei três algarismos significativos.)
Interpretação breve: é uma massa muito grande — cerca de
toneladas — porque
tem meia-vida muito longa e, portanto, decai muito lentamente.
Passo 4
Resolver (c): quantas partículas alfa por segundo são emitidas por
de urânio.
- Novamente
e . Aqui e . - Calcule o número de mols:
- Número de núcleos:
- Atividade:
- Como cada decaimento de
produz exatamente uma partícula alfa, essa atividade corresponde ao número de partículas alfa emitidas por segundo:
Resposta
(a)
(b)
(c)