18- O isótopo comum do urânio, { }^{238} \mathrm{U}, possui meia-vida de 4,47 \times 10^{9} anos, decaindo para { }^{234} \mathrm{Th} pela emissão alfa. (a) Qual é a constante de decaimento? (b) Que massa de urânio é exigida para uma atividade de 1,00 curie?
(c) Quantas partículas alfa são emitidas por segundo por 10,0 \mathrm{~g} de urânio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • A meia-vida do isótopo ^{238}\mathrm{U} é \;t_{1/2}=4{,}47\times10^{9}\\ \text{anos}.
  • O decaimento é por emissão alfa (cada decaimento = 1 partícula alfa).
  • A constante de Avogadro é \;N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1} (valor padrão).
  • A massa molar aproximada do {}^{238}\mathrm{U} é \;M\approx238\\ \text{g/mol}.
  • A conversão de 1 ano em segundos usarei \;1\\ \text{ano}=365{,}25\times24\times3600=3{,}15576\times10^{7}\\ \text{s}.
  • 1 curie vale \;1\\ \text{Ci}=3{,}70\times10^{10}\\ \text{decadências/s}ê.
O enunciado pede:
(a) a constante de decaimento \lambda (unidade \text{s}^{-1});
(b) a massa de urânio necessária para atividade A=1{,}00\\ \text{Ci};
(c) quantas partículas alfa (por segundo) são emitidas por 10{,}0\\ \text{g} de urânio.

Passo 2

Explicar a teoria básica que vou usar (lei do decaimento e definição de atividade).
  • A lei do decaimento radioativo diz que o número de núcleos \;N(t) decresce segundo
N(t)=N_0 e^{-\lambda t},
onde \;N_0 é o número inicial de núcleos e \lambda é a constante de decaimento (unidade \text{s}^{-1}). Aqui \lambda é a taxa de decaimento por núcleo.
  • A meia-vida \;t_{1/2} está relacionada a \lambda por
\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Explicação: meia-vida é o tempo para que N caia à metade, então N_0/2=N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} implica e^{-\lambda t_{1/2}}=1/2, daí \lambda=\ln2/t_{1/2}.
Agora converto a meia-vida para segundos para poder obter \lambda em \text{s}^{-1}.
  • Conversão:
t_{1/2}=4{,}47\times10^{9}\\ \text{anos}\times 3{,}15576\times10^{7}\\ \frac{\text{s}}{\text{ano}}.
Calculemos:
t_{1/2}=4{,}47\times3{,}15576\times10^{9+7}\\ \text{s}=14{,}1077\times10^{16}\\ \text{s}=1{,}41077\times10^{17}\\ \text{s}.
Agora aplico \lambda=\ln2/t_{1/2}:
\lambda=\frac{\ln 2}{1{,}41077\times10^{17}\\ \text{s}}.
Como \ln2\approx0{,}693147, temos
\lambda\approx\frac{0{,}693147}{1{,}41077\times10^{17}}\\ \text{s}^{-1}\approx4{,}92\times10^{-18}\\ \text{s}^{-1}.
(Arredondei mantendo três algarismos significativos.)

Passo 3

Resolver (b): massa necessária para atividade 1{,}00\\ \text{Ci}.
  • Definição de atividade A: é o número de decaimentos por segundo. Para um conjunto de N núcleos,
A=\lambda N.
  • Relação entre número de núcleos N e massa m: se a massa molar é M (g/mol),
\text{o número de mols} = \frac{m}{M},\qquad N=\frac{m}{M}N_A.ú
  • Juntando as fórmulas:
A=\lambda\frac{m}{M}N_A \quad\Rightarrow\quad m=\frac{A M}{\lambda N_A}.
Agora substituo valores. Primeiro escrevo A em \text{decadências/s}ê:
A=1{,}00\\ \text{Ci}=3{,}70\times10^{10}\\ \text{s}^{-1}.
Então
m=\frac{(3{,}70\times10^{10}\\ \text{s}^{-1})\times(238\\ \text{g/mol})}{(4{,}92\times10^{-18}\\ \text{s}^{-1})\times(6{,}022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1})}.
Vamos calcular passo a passo os fatores numéricos e as potências de 10.
  • Produto no numerador: 3{,}70\times10^{10}\times238 = 3{,}70\times238\times10^{10}=880{,}6\times10^{10}=8{,}806\times10^{12}.
  • Produto no denominador: 4{,}92\times10^{-18}\times6{,}022\times10^{23}=4{,}92\times6{,}022\times10^{(-18+23)}=29{,}627\times10^{5}=2{,}9627\times10^{6}.
    Agora a razão:
m=\frac{8{,}806\times10^{12}}{2{,}9627\times10^{6}}\\ \text{g} \approx 2{,}975\times10^{6}\\ \text{g}.
Em unidades maiores:
m\approx2{,}98\times10^{6}\\ \text{g}=2{,}98\times10^{3}\\ \text{kg}\approx2{,}98\times10^{3}\\ \text{kg}.
(Usei três algarismos significativos.)
Interpretação breve: é uma massa muito grande — cerca de 3{,}0 toneladas — porque ^{238}\mathrm{U} tem meia-vida muito longa e, portanto, decai muito lentamente.

Passo 4

Resolver (c): quantas partículas alfa por segundo são emitidas por 10{,}0\\ \text{g} de urânio.
  • Novamente A=\lambda N e N=(m/M)N_A. Aqui m=10{,}0\\ \text{g} e M=238\\ \text{g/mol}.
  • Calcule o número de mols:
n=\frac{m}{M}=\frac{10{,}0}{238}=0{,}0420168\\ \text{mol}\quad(\text{aprox.}).
  • Número de núcleos:
N=nN_A=0{,}0420168\times6{,}022\times10^{23}\approx2{,}529\times10^{22}.
  • Atividade:
A=\lambda N=(4{,}92\times10^{-18}\\ \text{s}^{-1})\times(2{,}529\times10^{22})\approx1{,}24\times10^{5}\\ \text{s}^{-1}.
  • Como cada decaimento de ^{238}\mathrm{U} produz exatamente uma partícula alfa, essa atividade corresponde ao número de partículas alfa emitidas por segundo:
\text{partículas alfa por segundo}\approx1{,}24\times10^{5}\\ \text{s}^{-1}.í

Resposta

(a) \lambda\approx4{,}92\times10^{-18}\\ \text{s}^{-1}
(b) m\approx2{,}98\times10^{6}\\ \text{g}=2{,}98\times10^{3}\\ \text{kg}
(c) \text{partículas alfa por segundo}\approx1{,}24\times10^{5}\\ \text{s}^{-1}í

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