19- Um isótopo radioativo tem meia-vida de 43,0 \mathrm{~min} . E \mathrm{~m} t=0, sua atividade é igual a 0,376 C i. Qual é a sua atividade em t=2,00 h ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a atividade no tempo indicado:
  • Meia-vida: \,T_{1/2}=43{,}0\\ \text{min}.
  • Atividade inicial (em t=0): \,A_0=0{,}376\\ \text{Ci}.
  • Tempo pedido: \,t=2{,}00\\ \text{h}.
O pedido é: calcular a atividade A(t) em t=2{,}00\\ \text{h}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando tudo devagar):
  • Meia-vida \,T_{1/2} é o tempo necessário para que a atividade (ou número de núcleos) reduza à metade.
  • A lei do decaimento radioativo (para atividade) pode ser escrita de duas formas equivalentes:
A(t)=A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
ou, em forma exponencial,
A(t)=A_0 e^{-\lambda t},
onde \lambda é a constante de decaimento, relacionada com a meia-vida por
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Explicando as variáveis:
  • A(t) é a atividade no tempo t.
  • A_0 é a atividade inicial (em t=0).
  • T_{1/2} é a meia-vida.
  • \lambda é a constante de decaimento (tem unidades de \text{tempo}^{-1}).
  • \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aprox. 0{,}693147).
Vou usar a forma com a potência de 1/2 porque é direta quando temos a meia-vida.

Passo 3

Primeiro converter o tempo pedido para a mesma unidade da meia-vida. A meia-vida está em minutos, então converto t para minutos:
t = 2{,}00\\ \text{h} = 2{,}00\times 60\\ \text{min} = 120\\ \text{min}.
Agora aplico a fórmula
A(t)=A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}.
Substituindo os valores conhecidos:
A(120\\ \text{min})=0{,}376\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{120}{43{,}0}}.
Calculo a razão dos tempos:
\frac{120}{43{,}0}\approx 2{,}79069767.
Então
A = 0{,}376\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}79069767}.

Passo 4

Como calcular \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}7907} de forma clara: escrevo em termos da exponencial
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}79069767}=e^{-\ln 2\cdot 2{,}79069767}.
Calculo o produto no expoente:
\ln 2\cdot 2{,}79069767 \approx 0{,}69314718\times 2{,}79069767 \approx 1{,}934364.
Logo
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}79069767}\approx e^{-1{,}934364}\approx 0{,}1445.
Agora multiplico pela atividade inicial:
A \approx 0{,}376 \times 0{,}1445 \approx 0{,}05427\\ \text{Ci}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (tipicamente 3 algarismos significativos), fica
A \approx 0{,}0543\\ \text{Ci}.
Para ter uma ideia em unidades mais familiares, em miliCurie:
A \approx 54{,}3\\ \text{mCi}.

Resposta

0{,}0543\\ \text{Ci}
54{,}3\\ \text{mCi}

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