Em 18 lançamentos de uma moeda, qual a chance de o número de caras ser:
um número par?

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: em 18 lançamentos de uma moeda justa, queremos saber qual é a probabilidade de sair um número par de caras.
Conteúdo envolvido: distribuição binomial e somas de combinações.
O que vamos precisar:
  • Entender que o número de caras em P(caras pares) = sumk=0^9 binom182k l(tfrac12r)^18 lançamentos segue a distribuição binomial com e .
  • Saber somar as probabilidades de ter 0, 2, 4, …, até 18 caras:

Passo 2

Vamos escrever a probabilidade de forma explícita. Se P(X é par) = sumk=0^9 binom182k,p^2k,(1-p)^18-2k, é o número de caras, então
P(X é par) = sumk=0^9 binom182k l(tfrac12r)^18 é
e aqui P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k, , logo
é
Isso vem da fórmula da binomial:
mas como , cada termo vira .

Passo 3

Em vez de somar todos os termos um a um, usamos uma identidade clássica da binomial:
sumsubstackk=0 k par^n binomnk = 2^,n-1
No nosso caso, sumk=0^9 binom182k = 2^17 , então
P(X é par) = 2^172^18 = 12
Multiplicando pelo fator , dá
é

Resposta

A chance de sair um número par de caras em 18 lançamentos é .

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