18 Qual é a magnitude média de um vetor de Poynting a 5,00 milhas de um transmissor de rádio transmitindo isotropicamente com uma potência média de 250 kW ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi fornecido:
  • Pede a magnitude média do vetor de Poynting a uma distância de 5,00 milhas de um transmissor isotrópico.
  • Dados fornecidos:
    • Potência média radiada: \,P_{\text{média}}=250\\ \mathrm{kW}é.
    • Distância do transmissor: r=5,00\\ \text{milhas}.
  • Observação importante (extraída do enunciado): a radiação é isotrópica, ou seja, a potência é emitida uniformemente em todas as direções.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O vetor de Poynting \mathbf{S} descreve a densidade de fluxo de potência eletromagnética (potência por unidade de área). A magnitude média temporal do vetor de Poynting, \langle S\rangle, é exatamente a intensidade (ou irradiância) da onda elétrica recebida, ou seja, a potência média por unidade de área.
  • Para uma fonte isotrópica, a potência média total \,P_{\text{média}}é se distribui uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r. A área dessa esfera é \,4\pi r^{2}.
  • Assim a relação é
\langle S\rangle=\frac{P_{\text{média}}}{4\pi r^{2}}.é
  • Explicando as variáveis: \langle S\rangle é a magnitude média do vetor de Poynting (unidade \mathrm{W/m^{2}}), P_{\text{média}}é é a potência média emitida pela fonte (unidade \mathrm{W}) e r é a distância radial até o ponto onde se quer o valor (unidade \mathrm{m}).

Passo 3

Converter unidades para o Sistema Internacional:
  • Primeiro transformar a potência para \mathrm{W}:
P_{\text{média}}=250\\ \mathrm{kW}=250\times10^{3}\\ \mathrm{W}=\;2,50\times10^{5}\\ \mathrm{W}.é
  • Converter a distância de milhas para metros. Usa-se 1\\ \text{milha}=1609,344\\ \mathrm{m}. Portanto,
r=5,00\\ \text{milhas}=5{,}00\times1609{,}344\\ \mathrm{m}=8046{,}72\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área da esfera \,4\pi r^{2} (mostrando os passos numéricos):
  • Primeiro r^{2}:
r^{2}=(8046{,}72\\ \mathrm{m})^{2}=6{,}4749704\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}}.
(este valor vem de elevar 8{,}046{,}72\times10^{3} ao quadrado.)
  • Agora a área:
4\pi r^{2}=4\pi\cdot 6{,}4749704\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}} \approx 8{,}1366877\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular a magnitude média do vetor de Poynting usando a fórmula:
\langle S\rangle=\frac{P_{\text{média}}}{4\pi r^{2}} =\frac{2{,}50\times10^{5}}{8{,}1366877\times10^{8}}\\ \mathrm{W/m^{2}}.é
Fazendo a divisão:
\langle S\rangle\approx 3{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Em notação decimal isso é aproximadamente \,0{,}000307\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova:
  • Esse valor significa que, a 5{,}00 milhas de um transmissor isotrópico de 250\\ \mathrm{kW}, a potência média que atravessa cada metro quadrado é muito pequena ( \sim3{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{W} por metro quadrado).
  • Dica prática: reconhecer rápido a fórmula \langle S\rangle=P/(4\pi r^{2}) para fontes isotrópicas resolve a maior parte dessas questões sem complicação. Converta unidades primeiro e faça a conta em notação científica para evitar erros.

Resposta

\;3{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}}

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