-18 A moderate wind accelerates a pebble over a horizontal x y plane with a constant acceleration \vec{a}=\left(5.00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{i}}+\left(7.00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{j}}. At time t=0, the velocity is (4.00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{i}}. What are the (a) magnitude and (b) angle of its velocity when it has been displaced by 12.0 m parallel to the x axis?
positive direction of the x axis?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo de forma clara para não nos perder):
  • A aceleração constante é \vec{a}=\left(5{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)\hat{\imath}+\left(7{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)\hat{\jmath}.
  • A velocidade inicial (em t=0) é \vec{v}_0=(4{,}00\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}. Ou seja, v_{0x}=4{,}00\\ \mathrm{m/s} e v_{0y}=0.
  • A partícula deslocou-se \Delta x=12{,}0\\ \mathrm{m} na direção paralela ao eixo x (no sentido positivo de x).
    As perguntas:
    (a) qual é a magnitude da velocidade no instante em que \Delta x=12{,}0\\ \mathrm{m}?
    (b) qual é o ângulo dessa velocidade com a direção positiva do eixo x?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação e derivação curta, passo a passo):
  • Para movimento com aceleração constante, aplicamos as equações de cinemática componente a componente.
  • Em x: \,v_x=v_{0x}+a_x t\, e \,x-x_0=v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^2\,.
  • Podemos eliminar o tempo para relacionar velocidade com deslocamento em x. Derivação rápida da fórmula útil: v_x=v_{0x}+a_x t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{v_x-v_{0x}}{a_x}.Substituindo em x-x_0=v_{0x}t+\tfrac12 a_x t^2 e rearrumando, obtém-se a conhecida relação (válida em 1D para aceleração constante): v_x^2=v_{0x}^2+2a_x\Delta x.Essa fórmula é muito prática: dá diretamente v_x quando se conhece \Delta x, sem precisar resolver a equação quadrática para t.
  • Uma vez encontrado v_x, o tempo correspondente vem de t=(v_x-v_{0x})/a_x. Então obtemos v_y por v_y=v_{0y}+a_y t.
  • Finalmente, a magnitude e o ângulo da velocidade são v=\sqrt{v_x^2+v_y^2},\qquad \theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right),observando o quadrante pelo sinal das componentes (aqui ambas serão positivas).

Passo 3

Calcular v_x usando \,v_x^2=v_{0x}^2+2a_x\Delta x\,.
v_x^2=(4{,}00)^2+2(5{,}00)(12{,}0)=16+120=136.
v_x=\sqrt{136}\approx 11{,}662\\ \mathrm{m/s}.
Como os dados têm geralmente três algarismos significativos, guardamos mais casas nos cálculos intermediários e só arredondamos no final.

Passo 4

Encontrar o tempo t correspondente:
t=\frac{v_x-v_{0x}}{a_x}=\frac{\sqrt{136}-4{,}00}{5{,}00}=\frac{11{,}662-4{,}00}{5{,}00}\approx 1{,}5324\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular v_y usando v_y=v_{0y}+a_y t (lembre: v_{0y}=0):
v_y=0+7{,}00\cdot 1{,}5324\approx 10{,}7268\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a magnitude da velocidade:
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(\sqrt{136})^2+(10{,}7268)^2}=\sqrt{136+115{,}054}\approx \sqrt{251{,}054}\approx 15{,}843\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
v\approx 15{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular o ângulo \theta com o eixo +x. Como v_x>0 e v_y>0, o ângulo estará entre 0^\circ e 90^\circ:
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{10{,}7268}{11{,}662}\right)=\arctan(0{,}92008)\approx 42{,}700^\circ.
Arredondando para três algarismos significativos:
\theta\approx 42{,}7^\circ.

Passo 8

Pequeno resumo final (pra te animar): aplicamos uma fórmula que elimina o tempo para achar v_x direto da distância em x, depois usamos o tempo para encontrar v_y e daí magnitude e direção. Método rápido e seguro para provas.

Resposta

v=15{,}8\\ \mathrm{m/s}
\theta=42{,}7^\circ

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