-70 A boat is traveling upstream in the positive direction of an x axis at 14 \mathrm{~km} / \mathrm{h} with respect to the water of a river. The water is flowing at 9.0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} with respect to the ground. What are the (a) magnitude and (b) direction of the boat’s velocity with respect to the ground? A child on the boat walks from front to rear at 6.0 \mathrm{km} / \mathrm{h} with respect to the boat. What are the (c) magnitude and (d) direction of the child’s velocity with respect to the ground?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A velocidade do barco em relação à água é \vec v_{b/w}=+14\\ \mathrm{km/h}. O sinal + indica que o barco se move rio acima (isso foi dito: “traveling upstream in the positive direction of an x axis”).
    • A velocidade da água em relação ao chão é \vec v_{w/g}=9,0\\ \mathrm{km/h}. Como a água “flowing” é a corrente oposta ao movimento rio acima, essa velocidade é no sentido rio abaixo (isto é, sentido negativo do eixo x).
    • A criança caminha da proa para a popa (front to rear) com velocidade \vec v_{c/b}=6,0\\ \mathrm{km/h} em relação ao barco. Caminhar da proa para a popa é no sentido oposto ao movimento do barco (ou seja, no sentido negativo do eixo x).
  • O que o problema pede:
    • (a) a magnitude da velocidade do barco em relação ao chão;
    • (b) a direção dessa velocidade (rio acima ou rio abaixo);
    • (c) a magnitude da velocidade da criança em relação ao chão;
    • (d) a direção da velocidade da criança em relação ao chão.

Passo 2

Princípio físico / fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A regra de velocidades relativas em uma dimensão (soma vetorial unidimensional) é
\vec v_{A/G}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/G},
onde:
  • \vec v_{A/G} é a velocidade do objeto A em relação ao chão (ground);
  • \vec v_{A/B} é a velocidade do objeto A em relação ao referencial em movimento B;
  • \vec v_{B/G} é a velocidade do referencial B em relação ao chão.
  • Interpretação simples: para saber a velocidade de A no chão, soma-se o que A faz dentro do referencial B com o que o próprio referencial B faz em relação ao chão. Em uma única dimensão usamos sinais para indicar direção: escolhemos positivo para rio acima (conforme enunciado) e negativo para rio abaixo.

Passo 3

Calcular a velocidade do barco em relação ao chão (usando \vec v_{b/g}=\vec v_{b/w}+\vec v_{w/g}):
  • Primeiro atribuir sinais coerentes:
    • \vec v_{b/w}=+14\\ \mathrm{km/h} (rio acima).
    • A água move-se rio abaixo a 9,0\\ \mathrm{km/h}, portanto \vec v_{w/g}=-9,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Somando:
\vec v_{b/g}=\vec v_{b/w}+\vec v_{w/g}=+14+(-9,0)=+5\\ \mathrm{km/h}.
  • Interpretação: o sinal + indica que, em relação ao chão, o barco avança rio acima. A magnitude é |\vec v_{b/g}|=5\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Interpretar corretamente a velocidade da criança em relação ao barco e calcular sua velocidade em relação ao chão:
  • “Da proa para a popa” (front to rear) é no sentido oposto ao avanço do barco (ou seja, sentido negativo). Logo
\vec v_{c/b}=-6,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Usando a fórmula:
\vec v_{c/g}=\vec v_{c/b}+\vec v_{b/g}=(-6,0)+(+5)=-1,0\\ \mathrm{km/h}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que, em relação ao chão, a criança se move rio abaixo. A magnitude é |\vec v_{c/g}|=1,0\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Checagem rápida e intuição (dica para prova):
  • Se a criança caminha para trás do barco a 6,0\\ \mathrm{km/h} relativo ao barco, mas o barco só vai a 5\\ \mathrm{km/h} para frente no chão, a criança ainda terá uma velocidade resultante para trás no chão de 1,0\\ \mathrm{km/h}. Isso é coerente fisicamente.
  • Sempre defina o sinal/direção antes de somar; use a fórmula de velocidades relativas direta e some algébricamente.

Resposta

(a) 5\\ \mathrm{km/h}
(b) rio acima (direção positiva do eixo x)
(c) 1,0\\ \mathrm{km/h}
(d) rio abaixo (direção negativa do eixo x)

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