-•17 A cart is propelled over an x y plane with acceleration components a_{x}=4.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} and a_{y}=-2.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Its initial velocity has components v_{0 x}=8.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} and v_{0 y}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. In unit-vector notation, what is the velocity of the cart when it reaches its greatest y coordinate?

Passo 1

O enunciado fornece os componentes da aceleração e da velocidade inicial e pede a velocidade (em notação de vetores unitários) no instante em que o carro atinge sua maior coordenada y. Informações dadas:
  • a_x = 4,0\\ \mathrm{m/s^2}
  • a_y = -2,0\\ \mathrm{m/s^2}
  • v_{0x} = 8,0\\ \mathrm{m/s}
  • v_{0y} = 12,0\\ \mathrm{m/s}
Pedido:
  • Determinar \vec v em notação de vetores unitários quando o carro alcança o máximo de y.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicando bem devagar):
  • Para movimento com aceleração constante, a velocidade em função do tempo é
\vec v(t)=\vec v_0+\vec a\,t,
onde \vec v(t) é a velocidade no tempo t, \vec v_0 é a velocidade inicial e \vec a é a aceleração (todas vetoriais). Em componentes cartesianas isso vira
v_x(t)=v_{0x}+a_x t,
v_y(t)=v_{0y}+a_y t.
  • Por que o máximo de y ocorre quando v_y=0? Porque a velocidade vertical é a derivada da posição vertical y(t). No ponto de máximo de y, a derivada (ou seja, a velocidade vertical instantânea) é zero. Então basta achar o instante em que v_y(t)=0.

Passo 3

Achar o tempo t tal que v_y(t)=0. Usando a expressão de v_y(t):
0 = v_{0y}+a_y t.
Substituindo os valores numéricos:
0 = 12,0 + (-2,0)\,t.
Resolvendo para t:
-2,0\,t = -12,0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{-12,0}{-2,0} = 6,0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a componente horizontal v_x naquele instante t=6{,}0\\ \mathrm{s} usando
v_x(t)=v_{0x}+a_x t.
Substituindo:
v_x(6{,}0)=8,0 + 4,0\cdot 6{,}0 = 8,0 + 24,0 = 32,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A componente vertical naquele instante é v_y(6{,}0)=0 (por construção). Portanto a velocidade vetorial no topo é horizontal, para a direita, e vale
\vec v = 32{,}0\,\hat{\imath} + 0{,}0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s},
que normalmente se escreve simplesmente \vec v = 32{,}0\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\vec v = 32{,}0\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}

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