Sm 19 Uma menina está sentada perto da janela de um trem que viaja com velocidade de 13,
. O tio da menina está parado na plataforma e observa o trem se afastar. O apito da locomotiva produz um som com frequência de 487 Hz . Admitindo que o ar está parado e que a velocidade do som em relação ao ar é
, calcule: (a) a frequência que o tio ouve; (b) a frequência que a menina ouve. Começa a soprar um vento no sentido contrário ao movimento do trem com velocidade de
. Determine: (a) a frequência que o tio passa a ouvir; (b) a frequência que a menina passa a ouvir.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (valores dados):
- Velocidade do trem:
. - Frequência do apito (frequência emitida):
. - Velocidade do som no ar (relativa ao ar):
. - Primeiro caso: ar parado (sem vento). Perguntas:
(a) frequência que o tio (observador parado na plataforma) ouve;
(b) frequência que a menina (dentro do trem) ouve. - Segundo caso: começa a soprar vento no sentido contrário ao movimento do trem com
(ou seja, o vento sopra na direção dos observadores que estão atrás da locomotiva). Perguntas:
(a) nova frequência que o tio ouve;
(b) nova frequência que a menina ouve.
Passo reservado: todas as velocidades do trem e do vento dadas estão em relação ao solo; quando houver vento, será preciso trabalhar com velocidades relativas ao ar (meio).
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar (explicado passo a passo, sem pular etapas).
-
Ideia física (Doppler para som em um meio): o som se propaga no ar com velocidade
relativa ao ar. Se a fonte e/ou o observador se movem em relação ao ar, a frequência percebida muda porque (i) o movimento da fonte altera o espaçamento entre frentes de onda (o comprimento de onda no ar) e (ii) o movimento do observador altera a velocidade relativa com que as frentes de onda atingem o observador. -
Derivação curta e clara (mesmo que já conhecida, é bom ver a lógica):
- A fonte emite frentes de onda com período
. - Se a fonte tem velocidade relativa ao ar
na direção “do fonte para o observador” (sinal positivo definido a partir da fonte em direção ao observador), então entre duas emissões consecutivas a fonte se desloca uma distância . Em a frente de onda avança no ar uma distância . Assim o comprimento de onda no ar vale
- O observador tem velocidade relativa ao ar
(positiva se for na mesma direção “da fonte para o observador”). As frentes alcançam o observador com velocidade relativa (a velocidade do som menos a velocidade do observador, porque se o observador mover-se na mesma direção das ondas ele “reduz” a velocidade com que as frentes o alcançam). - Logo a frequência percebida é
- A fonte emite frentes de onda com período
-
Resumo da fórmula (variáveis e sinais):
-
= velocidade do som no ar (positiva). -
= velocidade da fonte em relação ao ar; tomar positiva na direção que vai da fonte para o observador. -
= velocidade do observador em relação ao ar; tomar positiva na direção que vai da fonte para o observador. - Fórmula final:
Observe: se a fonte e o observador têm a mesma velocidade relativa ao ar () então (não há desvio entre eles). -
Passo 3
Aplicar ao primeiro caso: ar parado (sem vento).
-
Escolha de orientação de sinais (para consistência): como tanto o tio quanto a menina estão atrás da locomotiva (o trem se afasta deles), tomo o sentido positivo como o sentido que vai da locomotiva em direção aos observadores (isto é, para trás do trem). Com essa escolha:
- Velocidade do trem relativa ao ar (sem vento) é
(negativa porque o trem vai para a frente, ou seja, no sentido contrário ao positivo definido). - O tio na plataforma está parado em relação ao solo e ao ar, então
. - A menina está dentro do trem e move-se junto com a locomotiva; como o trem se move no sentido negativo, a velocidade da menina relativa ao ar é
.
- Velocidade do trem relativa ao ar (sem vento) é
-
Frequência ouvida pelo tio (usar a fórmula
com e ): Calcule passo a passo:
- Frequência ouvida pela menina (mesma velocidade relativa ao ar que a fonte:
e ): Interpretação: como fonte e ouvinte movem-se juntos em relação ao ar, não há mudança de frequência entre eles.
Passo 4
Incluir o vento (segundo caso). Como usar o vento corretamente?
- Quando há vento, o ar (meio) move-se em relação ao solo com velocidade
. A fórmula do Doppler requer as velocidades da fonte e do observador em relação ao ar (meio). Se é a velocidade da fonte em relação ao solo e é a velocidade do ar em relação ao solo, então a velocidade da fonte em relação ao ar é O mesmo para o observador: - No problema: o vento sopra no sentido contrário ao movimento do trem, ou seja, soprar na direção dos observadores (o ar se move para trás, no sentido positivo que definimos). Portanto
(positivo porque é no sentido da seta que vai da fonte para os observadores). - Velocidades em relação ao solo (relembrando):
(trem vai no sentido negativo), tio: , menina: . - Agora calcular velocidades relativas ao ar:
- Para a fonte:
- Para o tio:
- Para a menina:
), pois ambas se movem juntas e o ar também se move. - Para a fonte:
Passo 5
Calcular as frequências com vento usando a fórmula
.
- Para o tio (com vento): usar
e : Calcule:
- Para a menina (com vento): temos
, portanto Interpretação: ainda não há desvio entre fonte e ouvinte que se movem juntos em relação ao ar.
Passo 6
Resumindo e interpretando brevemente (ânimo!): o tio, parado na plataforma, ouve uma frequência menor do que a emitida porque a locomotiva se afasta; a menina, que está no trem junto da fonte (locomotiva), não percebe mudança na frequência emitida enquanto ambos têm a mesma velocidade relativa ao ar. Mesmo com vento, o único que muda ligeiramente é a frequência que o tio ouve porque o ar em movimento altera as velocidades relativas; a menina continua ouvindo a frequência original porque ela e a fonte continuam com a mesma velocidade em relação ao ar.
Resposta
Sem vento: (a) tio:
Sem vento: (b) menina:
Com vento (10{,}3 m/s no sentido contrário ao trem): (a) tio:
Com vento (10{,}3 m/s no sentido contrário ao trem): (b) menina:
Sem vento: (b) menina:
Com vento (10{,}3 m/s no sentido contrário ao trem): (a) tio:
Com vento (10{,}3 m/s no sentido contrário ao trem): (b) menina: