Sm 19 Uma menina está sentada perto da janela de um trem que viaja com velocidade de 13, 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tio da menina está parado na plataforma e observa o trem se afastar. O apito da locomotiva produz um som com frequência de 487 Hz . Admitindo que o ar está parado e que a velocidade do som em relação ao ar é 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule: (a) a frequência que o tio ouve; (b) a frequência que a menina ouve. Começa a soprar um vento no sentido contrário ao movimento do trem com velocidade de 10,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: (a) a frequência que o tio passa a ouvir; (b) a frequência que a menina passa a ouvir.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (valores dados):
  • Velocidade do trem: \,13{,}8\\ \mathrm{m/s}.
  • Frequência do apito (frequência emitida): \,f=487\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar (relativa ao ar): \,c=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro caso: ar parado (sem vento). Perguntas:
    (a) frequência que o tio (observador parado na plataforma) ouve;
    (b) frequência que a menina (dentro do trem) ouve.
  • Segundo caso: começa a soprar vento no sentido contrário ao movimento do trem com \,10{,}3\\ \mathrm{m/s} (ou seja, o vento sopra na direção dos observadores que estão atrás da locomotiva). Perguntas:
    (a) nova frequência que o tio ouve;
    (b) nova frequência que a menina ouve.
Passo reservado: todas as velocidades do trem e do vento dadas estão em relação ao solo; quando houver vento, será preciso trabalhar com velocidades relativas ao ar (meio).

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (explicado passo a passo, sem pular etapas).
  • Ideia física (Doppler para som em um meio): o som se propaga no ar com velocidade \,c relativa ao ar. Se a fonte e/ou o observador se movem em relação ao ar, a frequência percebida muda porque (i) o movimento da fonte altera o espaçamento entre frentes de onda (o comprimento de onda no ar) e (ii) o movimento do observador altera a velocidade relativa com que as frentes de onda atingem o observador.
  • Derivação curta e clara (mesmo que já conhecida, é bom ver a lógica):
    • A fonte emite frentes de onda com período T=1/f.
    • Se a fonte tem velocidade relativa ao ar \,u_s na direção “do fonte para o observador” (sinal positivo definido a partir da fonte em direção ao observador), então entre duas emissões consecutivas a fonte se desloca uma distância \,u_s T. Em \,T a frente de onda avança no ar uma distância \,cT. Assim o comprimento de onda no ar vale
    \lambda = cT - u_s T = \frac{c - u_s}{f}.
    • O observador tem velocidade relativa ao ar \,u_o (positiva se for na mesma direção “da fonte para o observador”). As frentes alcançam o observador com velocidade relativa c - u_o (a velocidade do som menos a velocidade do observador, porque se o observador mover-se na mesma direção das ondas ele “reduz” a velocidade com que as frentes o alcançam).
    • Logo a frequência percebida é
    f'=\frac{\text{velocidade relativa das frentes ao observador}}{\text{comprimento de onda}}=\frac{c-u_o}{\lambda} = f\,\frac{c-u_o}{c-u_s}.
  • Resumo da fórmula (variáveis e sinais):
    • \,c = velocidade do som no ar (positiva).
    • \,u_s = velocidade da fonte em relação ao ar; tomar positiva na direção que vai da fonte para o observador.
    • \,u_o = velocidade do observador em relação ao ar; tomar positiva na direção que vai da fonte para o observador.
    • Fórmula final:
    f' = f\,\frac{c-u_o}{c-u_s}.
    Observe: se a fonte e o observador têm a mesma velocidade relativa ao ar ( u_o=u_s) então f'=f (não há desvio entre eles).

Passo 3

Aplicar ao primeiro caso: ar parado (sem vento).
  • Escolha de orientação de sinais (para consistência): como tanto o tio quanto a menina estão atrás da locomotiva (o trem se afasta deles), tomo o sentido positivo como o sentido que vai da locomotiva em direção aos observadores (isto é, para trás do trem). Com essa escolha:
    • Velocidade do trem relativa ao ar (sem vento) é \,u_s = -13{,}8\\ \mathrm{m/s} (negativa porque o trem vai para a frente, ou seja, no sentido contrário ao positivo definido).
    • O tio na plataforma está parado em relação ao solo e ao ar, então \,u_{o,\text{tio}}=0.
    • A menina está dentro do trem e move-se junto com a locomotiva; como o trem se move no sentido negativo, a velocidade da menina relativa ao ar é \,u_{o,\text{menina}}=-13{,}8\\ \mathrm{m/s}.
  • Frequência ouvida pelo tio (usar a fórmula \,f' = f\,(c-u_o)/(c-u_s) com \,u_o=0 e \,u_s=-13{,}8):
    f_{\text{tio}} = 487\cdot\frac{343-0}{343-(-13{,}8)} = 487\cdot\frac{343}{343+13{,}8}.
    Calcule passo a passo:
    343+13{,}8=356{,}8.
343\cdot487=167041.
f_{\text{tio}}=\frac{167041}{356{,}8}\approx 468{,}16\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência ouvida pela menina (mesma velocidade relativa ao ar que a fonte: \,u_o=-13{,}8 e \,u_s=-13{,}8): f_{\text{menina}} = 487\cdot\frac{343-(-13{,}8)}{343-(-13{,}8)} = 487\cdot 1 = 487\\ \mathrm{Hz}.Interpretação: como fonte e ouvinte movem-se juntos em relação ao ar, não há mudança de frequência entre eles.

Passo 4

Incluir o vento (segundo caso). Como usar o vento corretamente?
  • Quando há vento, o ar (meio) move-se em relação ao solo com velocidade \,u_{\text{ar}}. A fórmula do Doppler requer as velocidades da fonte e do observador em relação ao ar (meio). Se \,v_{\text{fonte,solo}} é a velocidade da fonte em relação ao solo e \,u_{\text{ar}} é a velocidade do ar em relação ao solo, então a velocidade da fonte em relação ao ar é u_s = v_{\text{fonte,solo}} - u_{\text{ar}}.O mesmo para o observador: u_o = v_{\text{obs,solo}} - u_{\text{ar}}.
  • No problema: o vento sopra no sentido contrário ao movimento do trem, ou seja, soprar na direção dos observadores (o ar se move para trás, no sentido positivo que definimos). Portanto \,u_{\text{ar}}=+10{,}3\\ \mathrm{m/s} (positivo porque é no sentido da seta que vai da fonte para os observadores).
  • Velocidades em relação ao solo (relembrando): v_{\text{fonte,solo}}=-13{,}8 (trem vai no sentido negativo), tio: v_{\text{tio,solo}}=0, menina: v_{\text{menina,solo}}=-13{,}8.
  • Agora calcular velocidades relativas ao ar:
    • Para a fonte: u_s = v_{\text{fonte,solo}} - u_{\text{ar}} = -13{,}8 - 10{,}3 = -24{,}1\\ \mathrm{m/s}.
    • Para o tio: u_{o,\text{tio}} = 0 - 10{,}3 = -10{,}3\\ \mathrm{m/s}.
    • Para a menina: u_{o,\text{menina}} = -13{,}8 - 10{,}3 = -24{,}1\\ \mathrm{m/s}.
    Observação: a menina e a fonte têm agora a mesma velocidade relativa ao ar ( -24{,}1\\ \mathrm{m/s}), pois ambas se movem juntas e o ar também se move.

Passo 5

Calcular as frequências com vento usando a fórmula \,f' = f\,(c-u_o)/(c-u_s).
  • Para o tio (com vento): usar \,u_o=-10{,}3 e \,u_s=-24{,}1: f_{\text{tio,vento}}=487\cdot\frac{343-(-10{,}3)}{343-(-24{,}1)} = 487\cdot\frac{353{,}3}{367{,}1}.Calcule: \frac{353{,}3}{367{,}1}\approx 0{,}9624,
f_{\text{tio,vento}}\approx 487\cdot 0{,}9624 \approx 468{,}69\\ \mathrm{Hz}.
  • Para a menina (com vento): temos u_{o,\text{menina}}=u_s=-24{,}1, portanto f_{\text{menina,vento}}=487\cdot\frac{343-(-24{,}1)}{343-(-24{,}1)}=487\\ \mathrm{Hz}.Interpretação: ainda não há desvio entre fonte e ouvinte que se movem juntos em relação ao ar.

Passo 6

Resumindo e interpretando brevemente (ânimo!): o tio, parado na plataforma, ouve uma frequência menor do que a emitida porque a locomotiva se afasta; a menina, que está no trem junto da fonte (locomotiva), não percebe mudança na frequência emitida enquanto ambos têm a mesma velocidade relativa ao ar. Mesmo com vento, o único que muda ligeiramente é a frequência que o tio ouve porque o ar em movimento altera as velocidades relativas; a menina continua ouvindo a frequência original porque ela e a fonte continuam com a mesma velocidade em relação ao ar.

Resposta

Sem vento: (a) tio: 468{,}16\\ \mathrm{Hz}
Sem vento: (b) menina: 487\\ \mathrm{Hz}
Com vento (10{,}3 m/s no sentido contrário ao trem): (a) tio: 468{,}69\\ \mathrm{Hz}
Com vento (10{,}3 m/s no sentido contrário ao trem): (b) menina: 487\\ \mathrm{Hz}

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