18- Mostrar que se
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
for uma equação homogênea, então terá
\mu(x, y)=\frac{1}{x M(x, y)+y N(x, y)}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
em que M e N são funções homogêneas do mesmo grau n. Queremos mostrar que
\mu(x,y) \;=\; \frac{1}{x\,M(x,y) + y\,N(x,y)}
é um fator integrante, ou seja, que a nova forma
\mu\,M\,dx + \mu\,N\,dy = 0
é exata. Para isso usaremos o critério de exatidão
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) \;=\;\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)
e o Teorema de Euler para funções homogêneas:
x\,\frac{\partial M}{\partial x} + y\,\frac{\partial M}{\partial y} = n\,M, \qquad x\,\frac{\partial N}{\partial x} + y\,\frac{\partial N}{\partial y} = n\,N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de \mu. Como
\mu = \bigl(xM + yN\bigr)^{-1},
temos
\frac{\partial \mu}{\partial x} = -\frac{1}{(xM+yN)^2}\,\bigl(M + x\,M_x + y\,N_x\bigr),
\frac{\partial \mu}{\partial y} = -\frac{1}{(xM+yN)^2}\,\bigl(N + x\,M_y + y\,N_y\bigr),
onde M_x=\partial M/\partial x, etc.

Passo 3

Agora escrevemos
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial \mu}{\partial y}\,M + \mu\,M_y = \frac{-\bigl(N + xM_y + yN_y\bigr)M + (xM+yN)\,M_y}{(xM+yN)^2}.
E também
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N) = \frac{\partial \mu}{\partial x}\,N + \mu\,N_x = \frac{-\bigl(M + xM_x + yN_x\bigr)N + (xM+yN)\,N_x}{(xM+yN)^2}.

Passo 4

Para comparar os numeradores, usemos Euler: xM_x + yM_y = nM e xN_x + yN_y = nN.
No numerador de \partial_y(\mu M) fica
-\,NM - xMM_y - yN_yM + xM_yM + yNM_y = -\,MN + y\,N\,M_y - y\,N_y\,M,
que, aplicando y\,N_y = nN - xN_x, torna-se
-(n+1)MN + xM\,N_x + yN\,M_y.
No numerador de \partial_x(\mu N) obtemos de modo análogo
-(n+1)MN + xM\,N_x + yN\,M_y.
Como os numeradores coincidem e o denominador também, conclui-se
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x}(\mu N),
logo \mu torna a equação exata.

Resposta

\mu(x,y) = \frac{1}{x\,M(x,y) + y\,N(x,y)}
é de fato um fator integrante da equação homogênea dada.

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