18- Mostrar que se
for uma equação homogênea, então terá
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
em que
e
são funções homogêneas do mesmo grau
. Queremos mostrar que
é um fator integrante, ou seja, que a nova forma
é exata. Para isso usaremos o critério de exatidão
e o Teorema de Euler para funções homogêneas:
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
temos
onde
, etc.
Passo 3
Agora escrevemos
E também
Passo 4
Para comparar os numeradores, usemos Euler:
e
.
No numerador de fica
No numerador de
que, aplicando
, torna-se
No numerador de
obtemos de modo análogo
Como os numeradores coincidem e o denominador também, conclui-se
logo
torna a equação exata.
Resposta
é de fato um fator integrante da equação homogênea dada.