Mostrar que as equações dos problemas 1 a 4 não são exatas mas se tornam exatas quando multiplicadas, cada qual, pelo fator integrante mencionado. Resolver as equações exatas assim obtidas.
(1-x^{2} y{3}+x(1+y{2}) y^{\prime}=0, \mu(x, y)=\frac{1}{x y^{3}}).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1 - x^{2}y^{3}) \,\mathrm{d}x \;+\; x(1+y^{2}) \,\mathrm{d}y \;=\;0
e informa o fator integrante
\mu(x,y)=\frac{1}{x\,y^{3}}.
O conteúdo aqui é de equações exatas e fator integrante: primeiro mostramos que sem \mu a forma M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y não é exata; depois multiplicamos por \mu tentando torná-la exata e, se for o caso, integramos.

Passo 2

Identifiquemos
M(x,y)=1 - x^{2}y^{3}, \qquad N(x,y)=x(1+y^{2}).
O teste de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;-3\,x^{2}y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} \;=\;1+y^{2},
e como -3x^{2}y^{2}\neq1+y^{2} concluímos que, de fato, sem fator integrante a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{x\,y^{3}},
ficando
\Bigl(\frac{1 - x^{2}y^{3}}{x\,y^{3}}\Bigr)\mathrm{d}x \;+\; \Bigl(\frac{x(1+y^{2})}{x\,y^{3}}\Bigr)\mathrm{d}y \;=\;0
ou seja
\underbrace{\Bigl(\frac{1}{x\,y^{3}} \;-\;x\Bigr)}_{\widetilde M(x,y)} \mathrm{d}x \;+\; \underbrace{\Bigl(\frac{1+y^{2}}{y^{3}}\Bigr)}_{\widetilde N(x,y)} \mathrm{d}y \;=\;0.

Passo 4

Verifiquemos se a forma nova é exata, isto é, se \partial\widetilde M/\partial y=\partial\widetilde N/\partial x.
Calculamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{x\,y^{3}}-x\Bigr) =-\frac{3}{x\,y^{4}}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1+y^{2}}{y^{3}}\Bigr) =0.
Como -3/(x\,y^{4})\neq 0,
a forma multiplicada continua não sendo exata.

Resposta

A equação não é exata originalmente, mas o fator integrante fornecido \mu(x,y)=1/(x\,y^{3}) também não a torna exata.
Há, portanto, inconsistência no enunciado – o fator integrante indicado não corrige a não‐exatidão e não se consegue resolver a equação nesse formato.

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